Decidabilidad del laberinto fractal

Un laberinto fractal es un laberinto que contiene copias de sí mismo. Por ejemplo, el siguiente de Mark JP Wolf de este artículo :

Comience en el MENOS y diríjase al PLUS. Cuando ingrese una copia más pequeña del laberinto, asegúrese de registrar el nombre de la letra de esa copia, ya que tendrá que dejar esta copia al salir. Debe salir de cada copia anidada del laberinto en el que ha ingresado, dejando en el orden inverso en que las ingresó (por ejemplo: ingrese A, ingrese B, ingrese C, salga C, salga B, salga A). Piense en ello como una serie de cajas anidadas. Si no hay una ruta de salida que abandone la copia anidada, ha llegado a un callejón sin salida. Se ha agregado color para aclarar los caminos, pero solo es decorativo.

Si existe una solución, la búsqueda de amplitud debe encontrar una solución. Sin embargo, supongamos que no hay solución para el laberinto, entonces nuestro programa de búsqueda se ejecutaría para siempre yendo más y más profundo.

Mi pregunta es: dado un laberinto fractal, ¿cómo podemos determinar si tiene una solución o no?

O, alternativamente, para un laberinto fractal de un tamaño dado (número de entradas / salidas por copia), ¿hay un límite en la longitud de la solución más corta? (si existiera tal límite, podríamos buscar de manera exhaustiva solo esa profundidad)

Un algoritmo informal rápido para demostrar que el problema es decidible:

• supongamos que hay entradas / salidas I 1$n$ ;$I_1,...I_n$
• construya un gráfico donde cada I i , el M I N U S y el P $G$$I_i$$MINUS$ sean nodos, y reemplace cada laberinto anidado M j con unsubgrafo K n (gráfico completo); agregue los bordes entre I i , M I N U S , P L U S , M j I k según el laberinto; mantener "externo" M $PLUS$$Mj$$K_n$$I_i, MINUS, PLUS, Mj_{I_k}$deMjcomo un subgrafo completo;$Mj_{I_i} \rightarrow Mj_{I_k}$bordes distintos de los bordes "internos" correspondientes $I_i \rightarrow I_k$$Mj$
• enumerar todas las rutas de MENOS a MÁS en (evitando ciclos);$G$
• si encuentra una ruta que no atraviesa una copia anidada, entonces es una solución; de lo contrario, expanda cada recorrido "interno" de los laberintos anidados de cada ruta:$Mj$

Suponga que una ruta en la primera enumeración es , entonces la ruta es una solución válida si hay una ruta desde I i → I j y de I k → I h en el laberinto original (gráfico G ).$MINUS \rightarrow A_{I_i} \rightarrow A_{I_j} \rightarrow B_{I_k} \rightarrow B_{I_h} \rightarrow PLUS$$I_i \rightarrow I_j$$I_k \rightarrow I_h$$G$

Entonces debemos expandir el yB que $A_{I_i} \rightarrow A_{I_j}$recorridos → B I h enumerando todos los caminos de I i a I k y de I k a$B_{I_k} \rightarrow B_{I_h}$$I_i$$I_k$$I_k$ en G .$I_h$$G$

Se detectan bucles infinitos cuando enumeramos todas las rutas de a I $I_i$$I_k$ en una expansión de una ruta que en una etapa anterior ya contenía para algunos submaze $... \rightarrow M_{I_i} \rightarrow M_{I_k} \rightarrow ...$$M$ (sólo hay expansiones posibles).$n^2$

Se encuentra una solución si encontramos una expansión de ruta que contiene solo entradas / salidas ; el laberinto no tiene solución si no podemos ampliar aún más los caminos sin bucles.$I_i$

Esta no es una "respuesta" a mi pregunta, sino un comentario extendido que la gente aquí podría encontrar interesante.

Afirmo que hay una definición natural de "tipo de análisis" de un laberinto y una solución, y difiere de la definición de informática / teoría de gráficos que hemos usado aquí. En particular, puede tener un laberinto fractal que tiene una "solución" bajo la definición de análisis, pero sería declarado insoluble por el algoritmo de Marizio De Biasi y la técnica de autómatas pushdown de Peter Shor.

Definición: Un laberinto es un subconjunto compacto del plano M ⊂ R 2 que contiene un punto inicial y un punto final s , e ∈ M , respectivamente. Una solución es una función continua f : [ 0 , T ] → M tal que f ( 0 ) = s y f ( T ) = $M$$M \subset \mathbb{R}^2$$s,e \in M$$f:[0,T] \rightarrow M$$f(0)=s$$f(T)=e$ .

Ahora considere la curva de Hilbert :

Uno podría interpretar esta curva como un "laberinto fractal" con el siguiente diagrama:

$P$

$P = APA^{-1}BPB^{-1}CPC^{-1}DPD^{-1}$

Ahora podría argumentar que esto no está en el espíritu de los laberintos fractales, ya que la curva de Hilbert llena todo el cuadrado y, por lo tanto, podría dibujar un segmento de línea recta desde el principio hasta el final. Sin embargo, esta objeción se anula fácilmente: simplemente use el diagrama de curva de hilbert incrustado directamente, como se muestra aquí:

Esto también contiene una secuencia de caminos continuos uniformemente convergentes que van desde el principio hasta el final, por el mismo argumento utilizado para mostrar la convergencia uniforme de la curva de Hilbert. Sin embargo, es un verdadero "laberinto fractal" en el sentido de que no llena todo el espacio.

Por lo tanto, tenemos un laberinto fractal que se puede resolver mediante la definición analítica, pero no se puede resolver mediante la definición teórica del gráfico.

De todos modos, estoy bastante seguro de que mi lógica es correcta, pero parece contradictorio, por lo que si alguien puede arrojar algo de luz sobre esto, lo agradecería.