¿Un par de ciclos homotópicos disjuntos en el doble separan el gráfico?

Supongamos que es un gráfico incrustado en una superficie compacta orientable del género g para que la incrustación sea celular. Considere el dual de la gráfica G ∗ . Supongamos que C 1 y C 2 sean ciclos disjuntos en G ∗ que son homotópicos entre sí y que E 1 y E 2 sean sus conjuntos de aristas correspondientes en G respectivamente. ¿Es G ∖ ( E 1 ∪ E 2 ) un gráfico desconectado?$G$$g$$G^*$$C_1$$C_2$$G^*$$E_1$$E_2$$G$$G \setminus (E_1 \cup E_2)$

Si. Permítanme escribir para la superficie en la que G y G ∗ están incrustados.$\Sigma$$G$$G^*$

Debido a que los ciclos y C 2 son homotópicos, también están en la misma clase de homología Z 2 . Entonces, por definición, la diferencia simétrica C 1 ⊕ C 2 es el límite de la unión de algún subconjunto de caras de G ∗ ; llamar a esta unión de caras U . (De hecho, U o su complemento Σ ∖ U debe ser un anillo, pero esto no es importante).$C_1$$C_2$$\mathbb{Z}_2$$C_1\oplus C_2$$G^*$$U$$U$$\Sigma\setminus U$

Como y C 2 son disjuntos, la diferencia simétrica C 1 ⊕ C 2 es igual a la unión C 1 ∪ C 2 . En particular, tenemos C 1 ⊕ C 2 ≠ ∅ , lo que implica que tanto U como su complemento Σ ∖ U no están vacíos. En otras palabras, el subsuelo Σ ∖ ( C 1 ∪ C 2 ) está desconectado.$C_1$$C_2$$C_1\oplus C_2$$C_1\cup C_2$$C_1\oplus C_2\ne \varnothing$$U$$\Sigma\setminus U$$\Sigma \setminus (C_1\cup C_2)$

Cualquier ruta en puede verse como una ruta en Σ que evita los vértices de G ∗ , y viceversa (hasta la homotopía). Por lo tanto, los componentes (gráfico) de G ∖ ( E 1 ∪ E 2 ) corresponden biyetivamente a los componentes (de superficie) de Σ ∖ ( C 1 ∪ C 2 ) . Concluimos que G ∖ ( E 1 ∪ E 2 ) está desconectado.$G$$\Sigma$$G^*$$G\setminus (E_1\cup E_2)$$\Sigma \setminus (C_1\cup C_2)$$G\setminus (E_1\cup E_2)$

La suposición de que es orientable nunca se usa.$\Sigma$