¿Hay un ejemplo de una clase de gráficos para los cuales el problema de coloración de vértices está en P pero el conjunto independiente si el problema es NP completo?
Respuestas:
Una afirmación quizás más general (con una prueba fácil) es que el siguiente problema ya está NP-completo:
Entrada: Un gráfico G, un color 3 de G, un número entero k.
Pregunta: ¿G tiene un conjunto independiente de tamaño k?
Esto se puede probar mediante una reducción del conjunto independiente. Observe que si tomamos un gráfico G, seleccionamos un borde y lo subdividimos dos veces (es decir, reemplace el borde {u, v} por una ruta u, x, y, v donde x e y tienen grado dos), entonces el número de independencia de G aumenta exactamente en uno. (Puede agregar exactamente uno de x o y a cualquier conjunto que fuera independiente en G, y lo contrario tampoco es difícil). Entonces, la pregunta si el gráfico G con m bordes tiene un conjunto independiente de tamaño k, es equivalente a la pregunta si G ', que es el resultado de subdividir todos los bordes en G dos veces, tiene un conjunto independiente de tamaño k + m. Pero tenga en cuenta que es fácil obtener una coloración 3 de G ', dividiendo G' en tres conjuntos independientes de la siguiente manera: uno contiene los vértices que también estaban en G, y las otras dos clases contienen cada una exactamente una de las dos " subdivider " vértices para cada borde. Por lo tanto, este procedimiento construye un gráfico G 'con 3 colores, de modo que calcular su número de independencia le da el número de independencia del gráfico original G.
Supuestamente, la referencia "Problemas de NP completo en un gráfico plano cúbico 3 conectado y sus aplicaciones" por Uehara (un artículo que no he visto realmente) demuestra que el conjunto independiente es NP completo incluso para gráficos planos sin triángulo. Pero según el teorema de Grötzsch, siempre son de 3 colores, y la prueba de números de colores más pequeños que 3 es fácil en cualquier gráfico, por lo que se pueden colorear de manera óptima en P.
Los gráficos circulares tienen la propiedad opuesta: para ellos, la coloración es NP completa pero el problema del conjunto independiente es fácil.
Esta no es una respuesta nueva, sino más bien una aclaración, la primera referencia fácil de obtener para la dureza del CONJUNTO INDEPENDIENTE en gráficos planos cúbicos libres de triángulos: la nota de Owen Murphy, Computación de conjuntos independientes en gráficos con gran circunferencia , Matemática Aplicada Discreta 35 (1992) 167-170 demuestra que
CONJUNTO INDEPENDIENTE es NP-completo para gráficas cúbicas planas vértice de circunferencia al menos para cualquier constante dada y .c n k c > 0 k , 0 ≤ k < 1
(En particular, INDEPENDEN SET es NP-complete para gráficos planos cúbicos sin ciclos de longitud menor que para cualquier constante )c > 0
La reducción indicada por @BartJansen es un caso especial en la prueba de Murphy de su teorema.
Para la propiedad opuesta, los gráficos lineales parecen ser más naturales que los gráficos circulares, según lo abordado por @DavidEppstein. Para los gráficos de líneas, COLORING es NP-complete pero INDEPENDENT SET es fácil.