Problema de camarilla en gráficos fijos

Como sabemos, la función -clique toma un subgrafo ( abarcando ) de un gráfico -vertex completo , y genera sif contiene una -clique . Las variables en este caso corresponden a los bordes de . Se sabe (Razborov, Alon-Boppana) que, para , esta función requiere circuitos monótonos de tamaño aproximadamente . C L I Q U E ( n , k ) G ⊆ K n n K n 1 G k K n 3 ≤ k ≤ n / 2 n $k$$CLIQUE(n,k)$$G\subseteq K_n$$n$$K_n$$1$$G$$k$$K_n$$3\leq k\leq n/2$$n^k$

Pero, ¿qué si tomamos un gráfico fijo , y consideramos la función booleana monótona , que toma un subconjunto de vértices, y genera si algunos vértices en forman un Clique en . Las variables en este caso corresponden a los vértices de , y la función es sólo la función clique estándar, pero restringido a los que abarcan subgraphs de uno fijo gráfico . C L I Q U E ( G , k ) S ⊆ [ n ] 1 k S G K n$G\subseteq K_n$$CLIQUE(G,k)$$S\subseteq [n]$$1$$k$$S$$G$$K_n$$G$

1. ¿Existen gráficos de vértices para los cuales requiere circuitos monótonos de tamaño mayor que ? Supongo que no. G C L I Q U E ( G , k ) n O ( log n $n$$G$$CLIQUE(G,k)$$n^{O(\log n)}$

2. ¿Es un problema NP-hard para alguna secuencia de gráficos ? Supongo que no. ( G n : n = 1 , 2 ... $CLIQUE(G_n,k)$$(G_n\colon n=1,2\ldots)$

Tenga en cuenta que si son todas las camarillas máximas en , entonces puede calcularse como un OR de umbral- funciones, la -ésima prueba si . Por lo tanto, si , entonces todo el circuito es de tamaño polinómico. Pero, ¿qué pasa con los gráficos con un número exponencial de camarillas máximas? (Una camarilla es máxima si no se le puede agregar ningún vértice). G C L I Q U E ( G , k ) r k i | S a ∩ C i | ≥ k r = p o l y ( n $C_1,\ldots,C_r$$G$$CLIQUE(G,k)$$r$$k$$i$$|S_a\cap C_i|\geq k$$r=poly(n)$

Es posible "incrustar" en para un gráfico particular en vértices. En particular, Bollobas y Thomason (1981) han demostrado que, si es un gráfico de Hadamard cuyos vértices son subconjuntos de , y dos vértices y son adyacentes si fes par, entonces contiene una copia isomórfica de cada gráfico en vértices. ¿Se puede combinar este hecho con el límite inferior de Razborov (de aproximadamente ) para para concluir que C L I Q U E ( H , k ) H n = 2 m H [ m ] u v | u ∩ v | H G m m k C L I Q U E ( m , k ) C L I Q U E $CLIQUE(m,k)$$CLIQUE(H,k)$$H$$n=2^m$$H$$[m]$$u$$v$$|u\cap v|$$H$$G$$m$$m^k$$CLIQUE(m,k)$m k H m k ( k - 1 ) k $CLIQUE(H,k)$ requiere circuitos monótonos de tamaño aproximadamente ? Un problema potencial aquí es que, aunque el gráfico "contiene" todos los gráficos de vértex , estos gráficos no están en el mismo conjunto de vértices. Y el argumento de Razborov exige que las entradas positivas y negativas ( cliques y complementos de gráficos completos -partitos) son gráficos en el mismo conjunto de vértices. Además, todas las entradas positivas ( -cliques) son solo copias isomórficas de una misma -clique fija .$m^k$$H$ $m$$k$$(k-1)$$k$ $k$

3. ¿ Alguna idea? ¿Alguien ha visto este tipo de problemas siendo considerado? Quiero decir, problemas de decisión para subgrafos de un grafo fijo . ¿O, digamos, el problema SAT para sub-CNF de un CNF fijo (satisfactorio) (obtenido al eliminar algunos literales)?

Motivación: problemas de este tipo están relacionados con la complejidad de los algoritmos de optimización combinatoria. Pero parecen ser interesantes en sí mismos. ¿Por qué deberíamos buscar algoritmos que sean eficientes en todos los gráficos? En realidad, generalmente estamos interesados ​​en las propiedades de piezas pequeñas de un gráfico (grande) (red de calles en un país, o facebook, o similares).

Observación 1: Si la gráfica es bipartita , entonces la matriz de incidencia del borde del vértice de las desigualdades para todos es totalmente unimodular , y uno puede resolver el problema de la camarilla en subgrafías inducidas de mediante programación lineal. Por lo tanto, para los gráficos bipartitos , tiene un circuito pequeño (aunque no monótono). x u + x v ≤ 1 ( u , v ) ∉ E G G C L I Q U E ( G , k $G=(L\cup R,E)$$x_u+x_v\leq 1$$(u,v)\not\in E$$G$$G$$CLIQUE(G,k)$

Observación 2: Una indicación de que, en el caso de los gráficos bipartitos , la respuesta a la pregunta 1 "debería" ser NO es que el siguiente juego monótono de Karchmer-Wigderson en solo necesita bits de comunicación. Deje que sea mayor número de vértices en un subgrafo bipartito completo de . Alice obtiene un conjunto de nodos rojos, Bob un conjunto de nodos azules de modo que . El objetivo es encontrar un no-borde entre y .G O ( log n ) k G A B | A | + | B | > k A $G$$G$$O(\log n)$$k$$G$$A$$B$$|A|+|B|>k$$A$$B$

$G$$k$$k$$n^{\Omega(k)}$

Puede encontrar la Complejidad parametrizada en papel de los procedimientos de búsqueda DPLL en este enlace .

Creo que este documento puede responder a sus preguntas: http://arxiv.org/abs/1204.6484

El documento define familias de problemas NP 3SAT difíciles, de modo que la estructura de la fórmula se fija para cada n, y la entrada es la polaridad de la fórmula.

Usando la reducción estándar de 3SAT a CLIQUE (cada cláusula 3CNF define un conjunto de 8 asignaciones posibles (o 7 asignaciones satisfactorias), con bordes entre asignaciones no conflictivas), hay un gráfico tal que después de eliminar un vértice para cada cláusula, es NP difícil de encontrar la camarilla máxima (o incluso para aproximarse a su tamaño, utilizando productos gráficos o productos gráficos aleatorizados)

En el tercer trimestre, hay un trabajo empírico sobre la "columna vertebral" y las posibles "puertas traseras" de los problemas del SAT. la columna vertebral es el conjunto de literales que son verdaderos en cada tarea satisfactoria. Una puerta trasera en un problema SAT es un conjunto (con suerte pequeño) de variables que proporcionan un "atajo" para resolver el problema. estas dos estructuras probablemente serían útiles y / o clave para comprender lo que usted denomina "sub-CNF" o CNF con algunas variables eliminadas. pero también DP, el algoritmo de davis putnam puede verse como una exploración sistemática de muchos "sub-CNF" del CNF para resolverlo.

[1] Backbones y Backdoors en Satisfiability por Kilby et al.