Fortalecimientos de la submodularidad.

Una función de conjunto es monótono submodular si para todos , A , B f ( A ) + f ( B ) ≥ f ( A ∪ B ) + f ( A ∩ B ) $f$$A,B$

$$f(A) + f(B) \geq f(A \cup B) + f(A \cap B).$$

Una propiedad más fuerte es Tomando , esta propiedad implica submodularidad monótona.C=A∪

$$\begin{multline*} f(A) + f(B) + f(C) + f(A\cup B\cup C) \geq \\f(A\cup B) + f(B\cup C) + f(A\cup C) + f(A \cap B \cap C). \end{multline*}$$ $C = A\cup B$

¿Se conoce esta propiedad?

Antecedentes

Esta propiedad surgió al intentar caracterizar las funciones de cobertura. Teniendo en cuenta algún universo ponderado (todos los pesos son no negativo) y una familia de subconjuntos de , la función de cobertura se define por como el peso total de los elementos cubiertos por conjuntos en . La función es siempre monótona y submodular. Lo contrario no es cierto.$U$$X$$U$$f(S)$$S \subseteq X$$S$$f$

La propiedad en cuestión implica que es una función de cobertura en el caso . Propiedades similares y más complicadas funcionan para más grande . Todas estas propiedades son satisfechas por las funciones de cobertura, por lo que esta es una caracterización completa.$f$$|X| = 3$$X$

$k^{th}$

$f(B)-f(A)\ge 0$$A\subseteq B$

$(f(A\cup B)-f(B))-(f(A)-f(A\cap B))\le 0$

$n$

Algo similar ya se sabía con probabilidad. Una función de cobertura también se puede considerar como una medida de probabilidad (hasta una constante de escala). La única referencia que pude desenterrar fue la página 439 del libro de Feller sobre probabilidad.

$$\begin{multline*} f(A \cap B) + f(A \cap C) + f(B \cap C) + f((A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)) \geq \\ f(A \cap (B \cup C)) + f(B \cap (A \cup C)) + f(C \cap (A \cup B)) + f(A \cap B \cap C). \end{multline*}$$ La condición "agregada" se menciona en el documento "Una caracterización de un cono de funciones pseudobooleanas a través de desigualdades de tipo supermodularidad" por Cramma, Hammer y Holtzman (desigualdad (4)), que forma parte de la colección rara "Metodología cuantitativa en den Wirtschaftswissenschaften ". Esta condición debería ser la misma que la mía.

$$\begin{multline*} f(A) + f(B) + f(C) + f(A \cap B \cap C) \geq \\ f(A \cup B \cup C) + f(A \cap B) + f(A \cap C) + f(B \cap C). \end{multline*}$$ $C = \varnothing$