NTIME (n ^ k) ≠ DTIME (n ^ k)?

En "Sobre determinismo versus no determinismo y problemas relacionados" (Proc. IEEE FOCS, páginas 429–438, 1983), Paul, Pippenger, Szemerédi y Trotter demostraron que
$\mathsf{NTIME}(n)\neq\mathsf{DTIME}(n)$ .

Esto responde a mi pregunta con k = 1. ¿Se sabe algo sobre un resultado similar para otra k fija?

No se conoce un límite inferior incondicional para cualquier en el modelo multitapa TM (o cualquier modelo más fuerte que este).$k \geq 2$

Ravi Kannan estudió este problema en "Hacia la separación del no determinismo del determinismo" (1984) . En el proceso de intentar mostrar logró demostrar lo siguiente: hay una constante universal c ≥ 1 tal que por cada k , N T I M E ( n k ) ⊈ T I M E - S P $NTIME(n^k) \neq TIME(n^k)$$c \geq 1$$k$ . Aquí, T I M E - S P A C E ( n k , n k / c ) es la clase de lenguajes reconocidos por las máquinas que usan el tiempo n k y el espacio n k / c simultáneamente. Claramente T I M E - S P A C E ( n k$NTIME(n^k) \not \subseteq TIME-SPACE(n^k,n^{k/c})$$TIME-SPACE(n^k, n^{k/c})$$n^k$$n^{k/c}$ pero no se sabe si son iguales.$TIME-SPACE(n^k,n^{k/c}) \subseteq TIME(n^k)$

Si asume para algunos que N T I M E ( n k ) = T I M E ( n k ) , obtendrá consecuencias interesantes. P = N P es obvio, pero también implica que N L ≠ P . Esto se puede probar utilizando un argumento de "comercio de alternancia". Básicamente, para cada k y cada idioma L ∈ N L , hay una constante $k \geq 2$$NTIME(n^k) = TIME(n^k)$$P=NP$${\sf NL} \neq {\sf P}$$k$$L \in {\sf NL}$$c$y alguna máquina alterna que reconoce y hace c alternancias, adivina O ( n ) bits por alternancia, luego cambia a un modo determinista y se ejecuta en n k tiempo. (Esto se sigue, por ejemplo, de jugar con las construcciones en Fortnow, "Intercambios de tiempo-espacio para la satisfacción" (1997)) . Ahora si T I M E ( n k ) = N T I M E ( n k ) entonces todos estos $L$$c$$O(n)$$n^k$$TIME(n^k) = NTIME(n^k)$$c$alternancias pueden ser eliminados con sólo una pequeña cantidad de sobrecarga, y que terminan con una cálculo que reconoce L . Por lo tanto N L ⊆ T I M E ( n k ) ≠ P . Probablemente no exista tal simulación alterna, pero si puede descartarla, tendrá el límite inferior que busca. (Nota: creo que el argumento anterior también está en el artículo de Kannan).$TIME(n^k)$$L$${\sf NL }\subseteq TIME(n^k) \neq {\sf P}$

Aunque no es exactamente lo que está preguntando, rj lipton comenta en su blog sobre la dificultad fundamental de los resultados en esta área y que el enfoque típico de "relleno" no se aplica [1] y señala que el resultado de PPST como usted cita recientemente ha sido ligeramente extendido (por un factor logarítmico) por Santhanam [2] es decir

[1] http://rjlipton.wordpress.com/2011/01/19/we-believe-a-lot-but-can-prove-little/

[2] http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.22.2392