¿Cómo demostrar que una fórmula no puede expresarse en LTL, pero puede estar en autómatas Buchi?

Estoy buscando una técnica general que pueda ayudarme a demostrar no solo que el autómata de Buchi es un modelo más expresivo que LTL, sino que la fórmula específica puede / no puede expresarse en LTL.

Por ejemplo, " ocurre al menos en posiciones pares" puede describirse mediante los siguientes autómatas de Buchi: donde y . $p$ $({q_0, q_1}, \Sigma, \delta, q_0, \{q_0\})$ $\delta(q_1, *) = q_0$ $\delta(q_0, p) = q_1$

He leído que los autómatas no se pueden expresar en LTL, pero no entiendo cómo demostrarlo formalmente.

Gracias.

lo.logic automata-theory

— Daniil
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Gracioso. Estaba viendo esas diapositivas hoy también.

— Dave Clarke

Respuestas:

Primero necesita saber qué quiere expresar y cómo lo va a expresar. Por ejemplo, puede representar una propiedad como un conjunto de trazas infinitas.

Las propiedades definibles por los autómatas Buechi son los lenguajes regulares . Las propiedades definibles por las fórmulas LTL son los lenguajes regulares sin estrellas. Los idiomas libres de estrellas son un subconjunto estricto de los idiomas regulares . $\omega$ $\omega$

La sección 5.1 de Principios de verificación de modelos por Baier y Katoen es un buen punto de partida elemental. Si desea técnicas de prueba generales, hay una variedad de formas de proceder. Una técnica general que me atrae es usar juegos. El primer jugador está tratando de mostrar dos estructuras que se pueden distinguir con una fórmula LTL. El segundo muestra que son iguales. Dos estructuras son LTL equivalentes si el segundo jugador tiene una estrategia ganadora. Entonces, si tomas dos estructuras que no son isomorfas pero el segundo jugador tiene una estrategia ganadora, entonces, no hay una fórmula LTL para distinguir entre las dos.

Una jerarquía hasta y otras aplicaciones de un juego de Ehrenfeucht-Fraisse para la lógica temporal , K. Etessami y Th. Wilke

Existen algoritmos para verificar si un lenguaje regular dado no tiene estrellas. Desafortunadamente, estos generalmente se expresan dentro de las pruebas de teoremas. $\omega$

Definibilidad lógica en huellas infinitas , Werner Ebinger y Anca Muscholl

Investigaré un poco más e intentaré encontrar una presentación más algorítmica.

— Vijay D
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Lo siento si no fui lo suficientemente claro. Revisé 5.1 de los Principios de verificación de modelos y no encontré ninguna información nueva. Sé lo que es LTL y cómo expresar propiedades con él. También sé que hay ciertas propiedades que no puedes expresar en LTL (por ejemplo, -los lenguajes regulares son más expresivos). Sé que la fórmula LTL se puede convertir a autómatas Buchi. Sin embargo, no sé cómo demostrar que un autómata Buchi específico NO se puede convertir a LTL.

ω

$\omega$

— Daniil

Entonces, si demuestro que una propiedad específica solo se puede expresar en un lenguaje regular sin estrellas, se deduce que la propiedad no se puede expresar en LTL. Por lo tanto, estoy buscando técnicas para demostrar eso para propiedades específicas.

— Daniil

El problema de decidir si un lenguaje regular de está libre de estrellas es decidible. El algoritmo cuenta como una técnica de prueba general. Estoy tratando de encontrar una referencia que responda con precisión a su pregunta. Las referencias que incluí anteriormente no son exactas, pero espero que sean perspicaces.

ω

$\omega$

— Vijay D

Tengo una pequeña reserva con el uso de los juegos EF para este propósito, porque si uno realmente va a escribir una prueba detallada que cubra todos los casos, rápidamente se vuelven difíciles de manejar. De ahí el interés de los métodos algebraicos en -words. (Sin embargo, son buenos para convencerse de que una propiedad en particular no es expresable en LTL y en pruebas más abstractas)

ω

$\omega$

— Sylvain

Yo personalmente prefiero las técnicas algebraicas. Mi intuición es terrible en general y descubrí que las técnicas algebraicas me conducen a menos pistas falsas y pruebas más cortas. Sin embargo, por los rechazos y presentaciones en papel, tengo la impresión de que la mayoría de los informáticos prefieren juegos o técnicas de prueba relacionales (bisimulación, etc.).

— Vijay D

Sugeriría utilizar la caracterización de idiomas de primer orden mediante autómatas Büchi sin contador: ver, por ejemplo, V. Diekert y P. Gastin, Lenguajes definibles de primer orden . En Logic and Automata: History and Perspectives, Texts in Logic and Games 2, páginas 261--306. Amsterdam University Press, 2008. http://www.lsv.ens-cachan.fr/Publis/PAPERS/PDF/DG-WT08.pdf

PD: en palabras finitas, esta columna BEATCS también es muy útil: J.-E. Pin, Logic on Words , http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00020073 .

— Sylvain
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Creo que la mejor manera de convencerse del hecho de que no existe una fórmula LTL para este lenguaje es a través de -semigroups. $\omega$

De hecho, hay un teorema, que puede encontrar en Diekert / Gastin o Pin, que establece que el lenguaje definible en LTL tiene un mínimo aperiódico semigroup. $\omega$

Dado un lenguaje regular L en palabras infinitas (a través de un autómata, por ejemplo), se puede calcular el mínimo -semigroup S que reconoce L. Para hacer esto, considere el semigrupo generado por las matrices de transición del autómata, y luego minimícelo. Luego puede probar S para la aperiodicidad: simplemente itere todos los elementos y verifique que siempre haya una tal que . $\omega$ $x\in S$ $n$ $x^n=x^{n+1}$

Esto le brinda un algoritmo para la definición de LTL.

— Denis
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