Problema de detención, conjuntos incuestionables: ¿prueba matemática común?

Se sabe que con un conjunto contable de algoritmos (caracterizado por un número de Gödel), no podemos calcular (construir un algoritmo binario que verifique la pertenencia) todos los subconjuntos de N.

Una prueba podría resumirse como: si pudiéramos, entonces el conjunto de todos los subconjuntos de N sería contable (podríamos asociar a cada subconjunto el número de Gödel del algoritmo que lo computa). Como esto es falso, prueba el resultado.

Esta es una prueba que me gusta, ya que muestra que el problema es equivalente a que los subconjuntos de N no sean contables.

Ahora me gustaría demostrar que el problema de detención no se puede resolver utilizando solo este mismo resultado (incontabilidad de N subconjuntos), porque supongo que son un problema muy cercano. ¿Es posible demostrarlo de esta manera?

computability halting-problem

— Weier
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Claramente, ambos resultados se pueden probar utilizando la misma técnica (diagonalización). Sin embargo, no creo que sea posible probar la indecidibilidad del problema de detención simplemente usando la incontabilidad de la familia de subconjuntos de ℕ, porque el primero se trata de la comparación entre RE y R , los cuales son familias contables de subconjuntos de ℕ.

— Tsuyoshi Ito

Solo hay innumerables programas con acceso al oráculo de detención, nuevamente caracterizado por un número de Godel. Sin embargo, el problema de detención ESTÁ entre este conjunto contable.

— David Harris

El teorema de detención, el teorema de Cantor (el no isomorfismo de un conjunto y su conjunto de potencias) y el teorema de incompletitud de Goedel son todas instancias del teorema del punto fijo de Lawvere, que dice que para cualquier categoría cartesiana cerrada, si hay un mapa epimórfico entonces cada tiene un punto fijo. $e : A \to (A \Rightarrow B)$ $f : B \to B$

Lawvere, F. William. Argumentos diagonales y categorías cerradas cartesianas . Lecture Notes in Mathematics, 92 (1969), 134-145.

Para una buena introducción a estas ideas, vea esta publicación de blog de Andrej Bauer .

— Neel Krishnaswami
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Eso está muy bien. No me di cuenta de que había un argumento formal real que los unificaba.

— Suresh Venkat

Ahora he aprendido a sospechar que, si se ve igual y huele igual, hay un argumento categórico sobre el sentido en que es igual.

— Vijay D

En mi opinión, las dos cosas realmente buenas sobre el teorema de Lawvere es que (a) es una declaración positiva, en lugar de negativa, y (b) la prueba es media docena de líneas de cálculos simples de cálculo lambda.

— Neel Krishnaswami

Mientras leía la pregunta, pensé para mí mismo que alguien debería mencionar el teorema del punto fijo de Lawvere. Imagina mi deleite cuando leo la respuesta :-)

— Andrej Bauer

Ser epimórfico no es la condición correcta. Necesitas la sobreyectividad puntual, que no implica ni está implícita por la condición de ser epimórfico. Ver Observación 2.3 ncatlab.org/nlab/show/Lawvere%27s+fixed+point+theorem

— fhyve