La solución de Kristoffer se puede usar para mostrar eso, suponiendo que los reales estén representados para que podamos calcular los límites de las secuencias de reales que son computablemente Cauchy. Recuerde que una secuencia es computablemente Cauchy si hay un mapa computable tal que, dada cualquier , tenemos para todos . Las representaciones estándar de los reales son así, por ejemplo, aquella en la que un real está representado por una máquina que calcula una aproximación racional arbitrariamente buena. (También podemos hablar en términos de dígitos computacionales, pero luego tenemos que permitir dígitos negativos. Este es un problema bien conocido en la teoría de computabilidad de los reales). f k | a m - a n | < 2 - k m , n ≥ f ( k )( anorte)norteFkEl | unametro- unnorteEl |< 2- km , n ≥ f( k )
S⊆ R( anorte)norte S x Sx = limnorteunanorteSXS
Prueba.
Supongamos que fuera decidible. Dada cualquier máquina Turing , considere la secuencia definida como
Es fácil verificar que es computable Cauchy, por lo tanto, podemos calcular su límite . Ahora tenemos iff detiene, por lo que podemos resolver el problema de detención. QEDT b n b n = { a n si T no se ha detenido en los primeros n pasos, un m si T se ha detenido en el paso m y m ≤ n . b n y = lim n b n y ∈ S TSTsinorte
sinorte= { anorteunametrosi T no se ha detenido en los primeros n pasos,si T ha detenido en el paso m y m ≤ n .
sinortey= limnortesinortey∈ ST
Hay un teorema dual en el que asumimos la secuencia está fuera de , pero su límite está en .SSS
Ejemplos de conjuntos satisfacen estas condiciones son: un intervalo abierto, un intervalo cerrado, los números negativos, el singleton , los números racionales, los números irracionales, los números transcendentales, los números algebraicos, etc.{ 0 }S{ 0 }
Un conjunto que no cumple las condiciones del teorema es el conjunto de números racionales traducidos por un número no computable . Ejercicio: ¿es decidible?α SS= { q+ α ∣ q∈ Q }αS