Partición de 3 clicas para gráficos de diámetro fijo

El problema de la partición de 3 cliques es el problema de determinar si los vértices de un gráfico, digamos , se pueden dividir en 3 camarillas. Este problema es NP-duro por una simple reducción del problema de 3 colorabilidad. No es difícil ver que la respuesta a este problema es fácil cuando diam ( G ) = 1 o diam ( G ) > 5 . El problema sigue siendo NP-duro cuando diam ( G ) = 2 por una simple reducción de sí mismo (dado un gráfico G , agregue un vértice y conéctelo a todos los demás vértices).$G$$\textrm{diam}(G) = 1$$\textrm{diam}(G) > 5$$\textrm{diam}(G) = 2$$G$

¿Cuál es la complejidad de este problema para gráficos con para 3 ≤ p ≤ 5 ?$\textrm{diam}(G) = p$$3\le p \le 5$

El problema parece estar en .$P$

Tome dos vértices , v con una distancia exactamente 3 (tal par debe existir cuando p ≥ 3 ). Deben tener diferentes colores (usaré R, G, B para denotar 3 colores y los vértices de la misma camarilla están coloreados del mismo color). Wlog asume que u es de color rojo y v es de color verde.$u$$v$$p\ge 3$$u$$v$

$\Gamma(u)$$u$$\Gamma(v)$$V-\Gamma(u)-\Gamma(v)$$u$$v$$u$$v$$v$debe ser de color verde o azul. Cada vértice ahora tiene como máximo dos opciones, por lo tanto, el problema se convierte en una instancia de 2-SAT que podemos resolver en tiempo polinómico.