Ancho de árbol y embalaje

Mi pregunta es un poco vaga. Me he estado preguntando si (y cómo), podemos aplicar la noción de ancho de árbol a los problemas de empaque en los gráficos.

Estaría contento con cualquier idea o referencia de trabajos de investigación anteriores sobre esto (suponiendo que haya alguna relación). Gracias.

Puedo interpretar esta pregunta de dos maneras diferentes:

1) Cuando se trata de las propiedades algorítmicas de los problemas de empaquetamiento en gráficos de ancho de árbol acotado, el Teorema de Courcelle muestra que por cada fijo podemos resolver de manera óptima los problemas que se pueden expresar en lógica de segundo orden monádico en tiempo lineal en gráficos de ancho de árbol como máximo (ver por ejemplo http://dx.doi.org/10.1093/comjnl/bxm037$k$$k$para una encuesta sobre las propiedades algorítmicas de los gráficos de ancho de árbol acotado). Como se pueden formular muchos problemas de empaquetamiento en MSOL, esto demuestra la capacidad de seguimiento de muchos de estos problemas en los gráficos de ancho de árbol acotado, incluido el Conjunto independiente, el Empaque triangular, el Empaque de ciclo, el empaquetamiento de las copias disjuntas de vértice / borde de cualquier gráfico fijo, el empaquetamiento de modelos menores de vértice disjunto de algún gráfico fijo H, y así sucesivamente. Pero como esta capacidad de seguimiento se extiende a todos los problemas definibles por MSOL, no es específica del empaque.

2) Cuando se trata de relaciones gráficas estructurales entre empaques y ancho de árbol, lo siguiente podría ser de interés. Gracias al trabajo de Robertson y Seymour, se sabe que existe una función modo que cada gráfico de ancho de árbol al menos contiene una cuadrícula como menor (el límite original para dado por Seymour y Robertson se mejoró más tarde en colaboración con Thomas; ver http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0095895684710732 para el mejor límite actual). Por lo tanto, si tiene una estructura tal que muchas copias de se puedan empaquetar en un f ( r ) r × r f S S r × r S r × r r ( r / 2 ) 2 f ( r ) ( r / 2 ) $f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$f(r)$$r \times r$$f$$S$$S$$r \times r$rejilla de menor importancia, entonces usted sabe que cualquier gráfico de gran treewidth contiene un gran embalaje de copias de . Por ejemplo, como una cuadrícula (para incluso ) contiene ciclos de vértice-disjunto, se deduce que un gráfico de ancho de árbol contiene al menos disjunto ciclos$S$$r \times r$$r$$(r/2)^2$$f(r)$$(r/2)^2$

El problema de conjunto independiente máximo es un problema de empaquetamiento (puede considerarse como un empaque de estrellas disjuntas), y tiene un algoritmo bien conocido con tiempo de ejecución en gráficos con ancho de árbol como máximo k .$2^k \operatorname{poly(n)}$$k$

Una referencia maravillosa sobre este tema es el artículo de la encuesta de Bruce Reed a continuación.

Reed, B. (1997). Ancho de árbol y enredos: una nueva medida de conectividad y algunas aplicaciones. Encuestas en combinatoria, 241, 87-162.

Uno de mis trabajos recientes permite omitir el teorema de la cuadrícula menor en algunos casos a través de los teoremas de descomposición del ancho de árbol. Ver el artículo a continuación.

Descomposiciones y aplicaciones de gráficos de gran ancho de árbol http://arxiv.org/abs/1304.1577

Esta también es una respuesta vaga. Hay una dualidad similar al teorema de Erdos-Posa para gráficos de ancho de árbol acotado. Ver, por ejemplo, Fedor V. Fomin, Saket Saurabh, Dimitrios M. Thilikos: Fortalecimiento de la propiedad Erdös-Pósa para clases de grafos cerrados menores. Journal of Graph Theory 66 (3): 235-240 (2011)