Una pregunta a la prueba # P-completa del permanente de Ben-Dor / Halevi

14

En el documento de Ben-Dor / Halevi [1] se da otra prueba de que el permanente es -completo. En la parte posterior del documento, muestran la cadena de reducción mientras el valor permanente se conserva a lo largo de la cadena. Como el número de asignaciones satisfactorias de una fórmula 3SAT se puede obtener del valor permanente, es suficiente calcular el permanente de la matriz final . Hasta aquí todo bien. $\#P$

IntPerm \propto NoNegPerm \propto 2PowersPerm \propto 0/1-Perm

$\begin{equation} \text{IntPerm} \propto \text{NoNegPerm} \propto \text{2PowersPerm} \propto \text{0/1-Perm} \end{equation}$

Φ

$\Phi$

0 / 1

$0/1$

Sin embargo, es bien sabido que el permanente de una matriz es igual al número de coincidencias perfectas en la doble cubierta bipartita , es decir, el gráfico de la matriz . Y este número se puede calcular de manera eficiente si resulta ser plano (usando el algoritmo Kastelyens). $0/1$ $\text{A}$ $G$ $\begin{pmatrix} 0 & \text{A} \\ \text{A}^t & 0 \end{pmatrix}$ $G$

Entonces, en total, esto significa que alguien podría calcular el número de asignaciones satisfactorias de una fórmula booleana si el gráfico final es plano. $\Phi$ $G$

Dado que la incrustación de depende en gran medida de la fórmula , la esperanza es que existan ciertas fórmulas que conducen con mayor frecuencia a cubiertas bipartitas planas. ¿Alguien sabe si alguna vez se ha investigado qué tan grandes son las posibilidades de que sea plano? $G$ $\Phi$ $G$

Dado que el conteo de soluciones satisfactorias es -completo, las gráficas serán casi siempre no planas, pero no puedo encontrar ninguna pista sobre este tema. $\#P$

[1] Amir Ben-Dor y Shai Halevi. Cero uno permanente es # p-completo, una prueba más simple. En el 2º Simposio de Israel sobre Teoría de Sistemas Informáticos, páginas 108-117, 1993. Natanya, Israel.

cc.complexity-theory counting-complexity permanent

— Etsch
fuente

11

Este tema ha sido ampliamente investigado en los últimos años bajo el nombre de Algoritmos Holográficos por investigadores como Valiant, Cai, Lu, Xia, Lipton y otros. Esencialmente, todos los casos manejables de #CSP (problemas de satisfacción de restricciones de conteo) se han identificado en términos de teoremas de dicotomía (FP vs. # P-complete). En particular, los cálculos de Matchgate se han identificado como la clase específica de problemas de conteo que se vuelven manejables en gráficos planos . Consulte, por ejemplo, este enlace para obtener más referencias.

— Martin Schwarz
fuente

1

Gracias Martin por la respuesta. Vale la pena leer el documento que vinculó de todos modos. Sin embargo, no se menciona una relación de la forma . La matriz ni su gráfico de doble cubierta bipartita son aleatorios, pero dependen completamente de la estructura de y los dispositivos gráficos utilizados. Entonces la pregunta es más sobre la clasificación de fórmulas

Φ \to A \to G

$\Phi \rightarrow A \rightarrow G$

A

$A$

G

$G$

Φ

$\Phi$

Φ

$\Phi$

G

$G$

2

$\Gamma$ $\Gamma$ $\Phi$

$\Gamma$ $\Phi$ $\Gamma$

$\Gamma$ $\Phi$ $\Phi$

$G$ $\Phi$ $G$

— Tyson Williams
fuente