Implicaciones de la no demostrabilidad de

Estaba leyendo " ¿Es P versus NP formalmente independiente? ", Pero me desconcertó.

Se cree ampliamente en la teoría de la complejidad que . Mi pregunta es sobre qué pasa si esto no es demostrable (digamos en ). (Supongamos que solo descubrimos que es independiente de pero no hay más información sobre cómo se prueba esto).$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$ZFC$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$ZFC$

¿Cuáles serán las implicaciones de esta declaración? Más específicamente,

dureza

Suponiendo que captura los algoritmos eficientes ( tesis de Cobham-Edmonds ) y , demostramos que los resultados de implican que son más allá del alcance actual de nuestros algoritmos eficientes. Si probamos la separación, significa que no existe un algoritmo de tiempo polinómico. Pero, ¿qué significa un resultado si la separación no es demostrable? ¿Qué pasará con estos resultados?$\mathsf{P}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{NP\text{-}hardness }$$\mathsf{NP\text{-}hardness}$$\mathsf{NP\text{-}hardness }$

algoritmos eficientes

¿La imposibilidad de prueba de la separación significa que necesitamos cambiar nuestra definición de algoritmos eficientes?

Es mejor formular su pregunta: "¿Cómo se vería afectada la teoría de la complejidad por el descubrimiento de una prueba de que P = NP es formalmente independiente de algún sistema axiomático fuerte?"

Es un poco difícil responder esta pregunta en abstracto, es decir, en ausencia de ver los detalles de la prueba. Como Aaronson menciona en su artículo, probar la independencia de P = NP requeriría ideas radicalmente nuevas, no solo sobre la teoría de la complejidad, sino sobre cómo probar las declaraciones de independencia. ¿Cómo podemos predecir las consecuencias de un avance radical cuya forma actualmente ni siquiera podemos adivinar?

Aún así, hay un par de observaciones que podemos hacer. A raíz de la prueba de la independencia de la hipótesis del continuo de ZFC (y más tarde de ZFC + grandes cardenales), un número considerable de personas ha llegado al punto de vista de que la hipótesis del continuo no es verdadera ni falsa . Podríamos preguntarnos si las personas llegarán a la conclusión de que P = NP no es "ni verdadero ni falso" a raíz de una prueba de independencia (por el argumento, supongamos que P = NP se demuestra independiente de ZFC + cualquier gran cardenal axioma). Supongo que no. Aaronson básicamente dice que no lo haría. El segundo teorema de incompletitud de Goedel no ha llevado a nadie que yo conozca a argumentar que "ZFC es consistente" no es ni verdadero ni falso., y la mayoría de las personas tienen una fuerte intuición de que las declaraciones aritméticas, o al menos las declaraciones aritméticas tan simples como "P = NP", deben ser verdaderas o falsas. Una prueba de independencia se interpretaría simplemente como que dice que no tenemos forma de determinar cuál de P = NP y P NP es el caso.$\ne$

También se puede preguntar si la gente interpretaría este estado de cosas como diciéndonos que hay algo "incorrecto" con nuestras definiciones de P y NP. ¿Quizás deberíamos rehacer los fundamentos de la teoría de la complejidad con nuevas definiciones con las que sea más manejable trabajar? En este punto, creo que estamos en el reino de la especulación salvaje e infructuosa, donde estamos tratando de cruzar puentes a los que no hemos llegado e intentando arreglar cosas que aún no se han roto. Por otra parte, ni siquiera está claro que cualquier cosa seríaestar "roto" en este escenario. Los teóricos de conjuntos están perfectamente felices asumiendo los axiomas cardinales grandes que consideren convenientes. Del mismo modo, los teóricos de la complejidad también podrían, en este hipotético mundo futuro, estar perfectamente felices asumiendo cualquier axioma de separación que consideren cierto, a pesar de que sea demostrable que no se puede demostrar.

En resumen, nada se deduce lógicamente de una prueba de independencia de P = NP. La cara de la teoría de la complejidad podría cambiar radicalmente a la luz de un avance tan fantástico, pero solo tendremos que esperar y ver cómo se ve el avance.

Esta es una pregunta válida, aunque quizás esté un poco desafortunadamente formulada. La mejor respuesta que puedo dar es esta referencia:

Scott Aaronson: Es P versus NP formalmente independiente . Boletín de la Asociación Europea de Informática Teórica, 2003, vol. 81, páginas 109-136.

Resumen: Esta es una encuesta sobre la pregunta del título, escrita para personas que (como el autor) ven la lógica como algo prohibitivo, esotérico y alejado de sus preocupaciones habituales. Comenzando con un curso intensivo sobre la teoría de conjuntos de Zermelo Fraenkel, analiza la independencia del oráculo; pruebas naturales; resultados de independencia de Razborov, Raz, DeMillo-Lipton, Sazanov y otros; y obstáculos para probar P vs. NP independientemente de fuertes teorías lógicas. Termina con algunas reflexiones filosóficas sobre cuándo se debe esperar que una pregunta matemática tenga una respuesta definida.

$[ZFC][1]$. Simplemente significa que la teoría no puede probar ni la afirmación ni su negación. No significa que la declaración no tenga un valor de verdad, no significa que no podamos conocer el valor de verdad de la declaración, podríamos ser capaces de agregar nuevos axiomas razonables que harán que la teoría sea lo suficientemente fuerte como para poder para probar las declaraciones o su negación. Al final, la demostrabilidad en una teoría es un concepto abstracto formal. Está relacionado con nuestra experiencia en el mundo real solo como modelo.

$\mathsf{P}$

$\Sigma_1$$\Pi_1$Topología vía lógica ", 1996.)

$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\Sigma_2$y busque las publicaciones en la lista de correo de FOM .

Como se demuestra en este documento:

http://www.cs.technion.ac.il/users/wwwb/cgi-bin/tr-get.cgi/1991/CS/CS0699.revised.pdf

Si se puede demostrar que P! = NP es independiente de la aritmética de Peano, entonces NP tiene límites superiores de tiempo determinista extremadamente cercano al polinomio. En particular, en tal caso, existe un algoritmo DTIME (n ^ 1og * (n)) que calcula SAT correctamente en infinitos intervalos enormes de longitudes de entrada.

Solo algunas reflexiones sobre esto. Siéntase libre de criticar.

Sea Q = [no puede probar (P = NP) y no puede probar (P / = NP)]. Suponga Q para una contradicción. También supondré que todos los descubrimientos conocidos sobre P vs NP todavía son viables. En particular, todos los problemas de NP son equivalentes en el sentido de que si puede resolver uno de ellos en tiempo polinómico, puede resolver todos los demás en tiempo polinómico. Deje que W sea un problema NP completo; W representa igualmente todos los problemas en NP. Debido a Q, uno no puede obtener un algotitmo A para resolver W en tiempo polinómico. De lo contrario, tenemos pruebas de que P = NP, lo que contradice Q (1) (*). Tenga en cuenta que todos los algoritmos son computables por definición. Decir que A no puede existir implica que no hay forma de calcular W en tiempo polinomial. Pero esto contradice Q (2). Nos queda rechazar (1) o rechazar (2). Cualquiera de los casos lleva a una condena. Por lo tanto, Q es una contradicción,

(*) Podría decir: "¡Ajá! A podría existir, pero simplemente no podemos encontrarlo". Bueno, si existiera A, podemos enumerar a través de todos los programas para encontrar A enumerando desde programas más pequeños a programas más grandes, comenzando con el programa vacío. A debe ser finito porque es un algoritmo, por lo que si existe A, entonces el programa de enumeración para encontrarlo debe finalizar.