¿Escribir un número como dos cuadrados y escribir los factores de un número es igualmente difícil?

Dejar $L_1$ y $L_2$ ser el siguiente:

$L_1=\{r:\exists x,y \in \mathbb{Z} \text{ such that } x^2+y^2=r\}$

$L_2=\{(N,M): M<N, \exists 1<d\leq M \text{ such that d|N} \}$

Reclamación $L_1 \leq_P L_2$

Prueba de croquis

Si quiero saber si $r\in L_1$ .

El número de soluciones enteras para $x^2+y^2=r$ es dado por

$g(r)=\sum_{d|r}{\chi{(d)}}$ dónde $\chi (x)=sin(\frac{\pi x}{2})=\cases{ 1\text{ when }x\cong 1 \text{ mod }4 \\ -1 \text{ when }x\cong 3 \text{ mod }4 \\ 0 \text{ when } 2|x }$

Entonces $L_1=\{r: g(r)\neq 0\}$ . Entonces, responder es " $r\in L_1$ "es como mucho tan difícil de responder como" ¿cuáles son los divisores de $r$ ? "

$\square$

Lo que me gustaría saber es si esto es cierto al revés. ¿Es cierto que si tuviera una máquina que me dijera en tiempo constante si $r\in L_1$ ¿podría crear una máquina que podría responder "es $(M,N)\in L_2$ ? "en tiempo polinomial?

Motivaciones

Esta pregunta surgió de una discusión sobre esta pregunta .

Disculpas Soy realmente un miembro de math.se que se ha perdido y vagado a cs.se. Avíseme si mi pregunta es clara y cumple con los estándares de este sitio. Estoy feliz de hacer correcciones.

complexity-theory time-complexity np decision-problem

— Masón
fuente

Estoy usando

\leq_{P}

$\leq_P$ ¿correctamente?

— Mason

Su reducción

L_{1} \leq_{p} L_{2}

$L_1\le_p L_2$ es correcto, pero tu conclusión de que

L_{1}

$L_1$ es "tan duro como"

L_{2}

$L_2$ Es incorrecto. Solo muestras eso

L_{1}

$L_1$ es como máximo tan duro como

L_{2}

$L_2$ . Específicamente, en realidad demuestras que

L_{1}

$L_1$ es como mucho tan difícil como un caso muy restringido de

L_{2}

$L_2$ , lo que podría ser muy fácil.

— Shaull

En lugar de "satisfacer un círculo", un término mejor podría ser "ser una suma de dos cuadrados".

— Yuval Filmus

@Shaull, cambié un idioma para reflejar tu comentario.

— Mason

Informática

\sum_{d ∣ n} d

$\sum_{d\mid n}d$ de hecho se sabe que es tan difícil como factorizar, hasta una reducción aleatoria del tiempo polinómico. Ver Bach, Miller y Shallit: Sumas de divisores, números perfectos y factorización .

— Emil Jeřábek

Aquí está la situación hasta donde puedo decir:

La forma más eficiente conocida para probar la membresía en $L_1$ es factorizar $r$ . Parece que no se conoce un algoritmo más eficiente.

Sin embargo, no hay una reducción obvia para demostrar $L_2 \le_P L_1$ . En otras palabras, si tuviéramos una máquina para decidir $L_1$ , no hay una manera fácil de usar eso para factorizar. Si queremos factorizar un número $N$ , podemos verificar si $N \in L_1$ , pero esto solo nos da un poco de información sobre los factores de $N$ . Prueba de múltiplos de $N$ (es decir, si $cN \in L_1$ para algún entero $c$ ) no nos proporciona ninguna información adicional, como saber si $N \in L_1$ es suficiente para predecir si $cN \in L_1$ para todos $c>0$ . Probar otros números tampoco parece ayudar de ninguna manera obvia. (Prueba si $N' \in L_1$ para algún otro número $N'$ no parece dar ninguna información útil, si $\gcd(N,N') =1$ ; y si tuviéramos una manera de encontrar otro número tal que , ya sabríamos cómo factorizar, pero por supuesto no sabemos cómo hacerlo, así que es poco probable que cualquier número que sepamos generar nos brinde información útil sobre los factores de ) Esto no es una prueba; es solo intuición manual. $N'$ $\gcd(N,N')\ne 1$ $N$

Por lo tanto, parece plausible que sea más fácil que , y también parece plausible que puedan tener la misma dificultad. No tengo conocimiento de ningún otro resultado sobre este tema. $L_1$ $L_2$

— DW
fuente