Recientemente estuve pensando en la validez de la prueba por contradicción. He leído en los últimos días cosas sobre lógica intuicionista y teoremas de Godel para ver si me darían respuestas a mis preguntas. En este momento todavía tengo preguntas pendientes (tal vez relacionadas con el nuevo material que leí) y esperaba obtener algunas respuestas
( ADVERTENCIA : está a punto de proceder a leer contenido con bases muy confusas en la lógica, tome todo con un grano de sal, se supone que es una pregunta y no una respuesta, hay muchos malentendidos).
Creo que mi pregunta principal es, una vez que demostramos que no A conduce a alguna contradicción, por lo que no A debe ser falso, entonces llegamos a la conclusión de que A debe ser cierto. Esa parte tiene sentido (especialmente si acepto la ley del medio excluido como algo que tiene sentido), pero lo que me molesta es la forma en que ocurre la prueba por contradicción. Primero comenzamos con no A y luego simplemente aplicamos axiomas y reglas de inferencias (digamos mecánicamente) y vemos a dónde nos lleva eso. Por lo general, llega a una contradicción (digamos que A es verdadero o y \ phi es verdadero). Concluimos que no A debe ser falso, por lo que A es verdadero. Esta bien. Pero mi pregunta es, ¿qué tipo de garantías tienen los sistemas formales queϕsi aplicara el mismo proceso pero comenzara con A, ¿no obtendría una contradicción allí también ? Creo que hay una suposición oculta que se está demostrando por contradicciones de que si de manera similar el mismo proceso en A no llegara a una contradicción , ¿qué tipo de garantías tenemos de que no sucedería? ¿Hay alguna prueba que sea imposible? En otras palabras, si tuviera una Turning Machine (TM) (o super TM) que funcionó para siempre, que intentó todos los pasos lógicos de cada axioma a partir de la afirmación supuestamente verdadera , lo que garantiza que NO SE DETENGA debido a encontrar una contradicción ?
Luego hice algunas conexiones con mi pregunta anterior con el teorema de incompletitud de Godel que se parece a esto:
Un sistema formal F que exprese aritmética no puede probar su propia consistencia (dentro de F).
Esto básicamente me dejó en claro que si eso es cierto, entonces la consistencia, es decir, garantizar que A y no A no suceda, es imposible. Por lo tanto, parecía que la prueba por contradicción suponía implícitamente que la consistencia está garantizada de alguna manera (de lo contrario, ¿por qué simplemente seguir adelante y concluir que A es verdadero al demostrar que A no es posible si aún no sabía esa consistencia? y la contradicción donde está bien, para cualquier par de afirmación A y no A)? ¿Es esto incorrecto o me perdí algo?
Entonces pensé, ok, solo incluyamos en nuestros axiomas la regla del medio excluido y luego se resuelven todos los problemas. Pero luego me di cuenta, espera si hacemos eso, solo estamos definiendo el problema en lugar de tratarlo. Si simplemente obligo a mi sistema a ser consistente por definición, eso no significa necesariamente que en realidad sea consistente ... ¿verdad? Solo estoy tratando de dar sentido a estas ideas y no estoy muy seguro de qué hacer, pero esto es lo que me estoy dando cuenta después de unos días de leer cosas y ver videos en casi todos los aspectos de estos conceptos, contradicciones, medios exclusivos, lógica intuicionista, teoremas de integridad e incompletitud de Godel ...
En relación con esto, parece que es esencialmente imposible probar directamente que algo es falso sin la regla del medio excluido (o contradicción). Parece que los sistemas de prueba son buenos para probar declaraciones verdaderas, pero a mi entender son incapaces de mostrar directamente que las cosas son falsas. Quizás la forma en que lo hacen es más indirectamente con contradicción (cuando muestran que algo debe ser falso o que suceden cosas malas), o excluido en el medio (donde conocer el valor de verdad de un solo A o no A nos da la verdad del otro) o proporcionando ejemplos de contador (que básicamente muestra que lo contrario es cierto, por lo que indirectamente usa la ley del medio excluido). ¿Supongo que quizás realmente quiero una prueba constructiva de que algo es falso?
Creo que si pudiera saber que si pruebo que A no es falso (digamos que acepto la contradicción), entonces está bien y no necesito aplicar todas las reglas de inferencia y axiomas infinitamente en A y estoy seguro de que A ganó No se llega a una contradicción. Si eso fuera cierto, entonces creo que podría aceptar pruebas por contradicción más fácilmente. ¿Es esto cierto o la segunda incompletitud de Godel garantiza que no puedo tener esto? Si no puedo tener esto, entonces, ¿qué me sorprende es cómo es posible que tantos años de matemáticos hagan matemáticas que no hayamos encontrado una inconsistencia? ¿Necesito confiar en evidencia empírica de consistencia? O, por ejemplo, I prof F es consistente al mostrar superF prueba F pero dado que nunca necesitaré superF y solo F, ¿no puedo ser contenido que realmente funcione?
Acabo de notar que mi queja también se generaliza a las pruebas directas. Ok, si hice una prueba directa de A, entonces sé que A es cierto ... pero, ¿cómo sé que si hiciera una prueba directa de A, no obtendría una prueba correcta? Parece la misma pregunta solo un énfasis ligeramente diferente ...