¿Por qué la solidez implica consistencia?

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Estaba leyendo la pregunta ¿ Consistencia e integridad implican solidez? y la primera declaración dice:

Entiendo que la solidez implica consistencia.

Lo que me intrigó bastante porque pensé que la solidez era una afirmación más débil que la consistencia (es decir, pensé que los sistemas consistentes tenían que ser sólidos, pero supongo que no es cierto). Estaba usando la definición informal que Scott Aaronson estaba usando en su curso 6.045 / 18.400 en el MIT por consistencia y solidez:

Solidez = Un sistema de prueba es sólido si todas las afirmaciones que prueba son realmente verdaderas (todo lo que es demostrable es Verdadero). es decir, IF ( $\phi$ es demostrable) $\implies$ ( $\phi$ es cierto). Entonces SI (hay un camino hacia una fórmula) ENTONCES (esa fórmula es verdadera)
Consistencia = un sistema consistente nunca prueba A y NO (A). Entonces solo una A o su negación puede ser Verdadero.

Usando esas definiciones (quizás informales) en mente, construí el siguiente ejemplo para demostrar que hay un sistema que es sólido pero no consistente:

C h a r l i e S y s t e m ≜ {A x i o m s = {A, \neg A}, I n f e r e n c e R u l e s = {N O T (\cdot)}}

$CharlieSystem \triangleq \{ Axioms=\{A, \neg A \}, InferenceRules=\{NOT(\cdot) \} \}$

La razón por la que pensé que era un sistema de sonido es porque, por supuesto, los axiomas son ciertos. Entonces A y no A son ambos verdaderos (sí, sé que la ley del medio excluido no está incluida). Dado que la única regla de inferencia es la negación, obtenemos que podemos alcanzar tanto A como no A desde los axiomas y alcanzarnos entre nosotros. Por lo tanto, solo alcanzamos declaraciones Verdaderas con respecto a este sistema. Sin embargo, por supuesto, el sistema no es consistente porque podemos probar la negación de la única declaración en el sistema. Por lo tanto, he demostrado que un sistema de sonido podría no ser consistente. ¿Por qué es incorrecto este ejemplo? ¿Qué hice mal?

En mi cabeza, esto tiene sentido intuitivamente porque la solidez solo dice que una vez que comenzamos desde axioma y arrancamos las reglas de inferencia, solo llegamos a destinos (es decir, declaraciones) que son verdaderos. Sin embargo, en realidad no dice a qué destino llegamos. Sin embargo, la consistencia dice que solo podemos llegar a destinos que son o (ambos no ambos). Por lo tanto, cada sistema consistente debe incluir la ley del medio excluido como un axioma, que por supuesto no lo hice y luego simplemente incluí la negación del único axioma como el único otro axioma. Entonces, ¿no parece que hice algo demasiado inteligente, pero de alguna manera algo está mal? $A$ $\neg A$

Me doy cuenta de que podría ser un problema porque estoy usando la definición informal de Scott. Incluso antes de escribir la pregunta, revisé wikipedia, pero su definición no tenía sentido para mí. En particular la parte que dicen:

con respecto a la semántica del sistema

su cita completa es:

Cada fórmula que se puede probar en el sistema es lógicamente válida con respecto a la semántica del sistema.

— Charlie Parker
fuente

Todos los sistemas que estamos interesados en lata contradicción Derivar y .

A

$A$

\neg A

$\lnot A$

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus No creo entender lo que significa tu comentario ... ¿Significa que con mis axiomas siempre puedes derivar una contradicción? Ese fue mi punto, ¿no? Lo siento, no lo entiendo. Creo que mi pregunta es sobre la semántica de la palabra "solidez" y "consistencia" ya que mi ejemplo solo trata de categorizar el "sistema lógico" que inventé.

— Charlie Parker

Significa que su sistema no es tan interesante. Todos los sistemas que surgen en la investigación son lo suficientemente fuertes como para generar contradicciones en este entorno.

— Yuval Filmus

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@YuvalFilmus no se supone que mi sistema sea "interesante" para hacer cálculos reales, por supuesto que lo sé. Mi sistema fue definido pedagógicamente para hacer mi pregunta clara y simple, por supuesto, y aclarar la confusión que tengo con respecto a la solidez y la coherencia. Pero en esa conferencia que vinculé, Scott dice más tarde que Soundness, ya que está hablando de la Verdad "real", debe ser consistente porque la Verdad tiene que ser consistente consigo misma (es decir, True no puede ser igual a False). Entonces parece que el sistema de sonido simplemente hereda por axioma del medio excluido automáticamente. Es mi comprensión actual.

— Charlie Parker

¿Son y ambas verdaderas? Si no es así, ¿cómo es el sonido?

A

$A$

\neg A

$\neg A$

— user253751

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Recomiendo buscar en la lógica formal más allá de las descripciones vagas y onduladas a mano. Es interesante y muy relevante para la informática. Desafortunadamente, la terminología y el enfoque limitado de incluso los libros de texto específicamente sobre lógica formal pueden presentar una imagen deformada de lo que es la lógica. El problema es que la mayoría de las veces cuando los matemáticos hablan de "lógica", (a menudo implícitamente) se refieren a la lógica proposicional clásica o la lógica clásica de primer orden. Si bien estos son sistemas lógicos extremadamente importantes, no están cerca de la amplitud de la lógica. En cualquier caso, lo que voy a decir se lleva a cabo en gran medida en ese contexto limitado, pero quiero dejar en claro que está sucediendo en un contexto particular y que no es necesario que sea cierto fuera de él.

Primero, si la consistencia se define como no probar tanto como , ¿qué sucede si nuestra lógica ni siquiera tiene negación o si $A$ $\neg A$ $\neg$ significa algo más? Claramente, esta noción de consistencia hace algunas suposiciones sobre el contexto lógico dentro del cual opera. Típicamente, esto es que estamos trabajando en la lógica proposicional clásica o alguna extensión de la misma, como la lógica clásica de primer orden. Hay múltiples presentaciones, es decir, listas de axiomas y reglas, que podrían llamarse lógica clásica proposicional / de primer orden pero, para nuestros propósitos, lo que realmente no importa. Son equivalentes en algún sentido adecuado. Por lo general, cuando hablamos de un sistema lógico nos referimos a una teoría (clásica) de primer orden. Esto comienza con las reglas y los axiomas (lógicos) de la lógica clásica de primer orden, a los que se agregan símbolos de función, símbolos predicados y axiomas (llamados axiomas no lógicos). Estas teorías de primer orden suelen ser lo que '

Luego, solidez generalmente significa solidez con respecto a una semántica. La consistencia es una propiedad sintáctica que tiene que ver con las pruebas formales que podemos hacer. La solidez es una propiedad semántica que tiene que ver con la forma en que interpretamos las fórmulas, los símbolos de función y los símbolos predicados en objetos y enunciados matemáticos. Incluso para comenzar a hablar sobre la solidez, debe dar una semántica, es decir, una interpretación de las cosas antes mencionadas. Nuevamente, tenemos una separación entre los conectivos lógicos y los axiomas lógicos, y los símbolos de función, símbolos predicados y axiomas no lógicos. Lo que hace que los conectivos conectivos y los axiomas lógicos sean lógicos desde el punto de vista semántico es que son tratados especialmente por la semántica, mientras que los símbolos de función, los símbolos predicados y los axiomas no lógicos no. $[\![\varphi\land\psi]\!]=[\![\varphi]\!]\cap[\![\psi]\!]$ donde uso como la interpretación de la fórmula . En particular, Donde es el conjunto de dominios. La idea es que una fórmula se interpreta como el conjunto de (tuplas de) elementos de dominio que satisfacen la fórmula. Una fórmula cerrada (es decir, una sin variables libres) se interpreta como una relación nula, es decir, un subconjunto de un conjunto singleton que solo puede ser ese singleton o el conjunto vacío. Una fórmula cerrada es "verdadera" si no se interpreta como el conjunto vacío. La solidez es entonces la afirmación de que cada fórmula demostrable (cerrada) es "verdadera" en el sentido anterior. $[\![\varphi]\!]$ $\varphi$ $[\![\neg\varphi]\!]=D\setminus[\![\varphi]\!]$ $D$

Es fácil desde aquí, incluso a partir del bosquejo que he dado, demostrar que la solidez implica consistencia (en el contexto de las lógicas clásicas de primer orden y la semántica que he bosquejado). Si su lógica es el sonido, luego cada demostrables interpreta fórmula como un conjunto no vacío, sino está siempre interpretado como el conjunto vacío, no importa qué fórmula es, y por lo tanto no puede ser demostrable, es decir, su lógica es consistente.

[[φ \land \neg φ]] = [[φ]] \cap (D ∖ [[φ]]) = \emptyset

$[\![\varphi\land\neg\varphi]\!]=[\![\varphi]\!]\cap(D\setminus[\![\varphi]\!])=\varnothing$

[[φ \land \neg φ]]

$[\![\varphi\land\neg\varphi]\!]$

φ

$\varphi$

— Derek Elkins dejó SE
fuente

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siéntase libre de recomendarme un libro sobre lógica, realmente no sé qué es una buena referencia, especialmente para principiantes en lógica. Lo curioso es que he tomado algoritmos y análisis reales, por lo que nunca he pensado rigurosamente sobre la lógica misma.

— Charlie Parker

1

interesante, siempre pensé que "verdad" significaba que asignamos una declaración a valores booleanos 0 y 1. Pero parece que eso era incorrecto. Supongo que podemos arreglar mi modelo equivocado si tenemos un mapa de conjunto vacío en 0 y no vacío en 1. De lo contrario, no estoy seguro de cómo uno puede volver a escribir su prueba en "mi definición de verdad como la función mapeo a 1 o 0 ".

— Charlie Parker

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Esa es la semántica típica de la lógica proposicional clásica , que puede verse como un caso especial de la lógica clásica de primer orden donde todos los predicados son nulos. Los valores booleanos de "verdad" de hecho se asignan al conjunto vacío y al conjunto singleton en esta vista. Uno de los puntos no tan evidentes de mi primer párrafo fue sugerir que diferentes lógicas tienen diferentes nociones de semántica. Incluso para una lógica fija, hay varias semánticas posibles que se le pueden dar. Hay una razón por la que digo "la semántica típica" y no solo "la semántica".

— Derek Elkins salió del SE

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Derek, si tienes tiempo, ¿te importaría quizás hacer un ejemplo concreto del dominio y cómo realmente conduce al conjunto vacío? (También me complace hacer una nueva pregunta si lo prefiere) Tenía en mente un ejemplo pero no sabía cómo completarlo. El ejemplo mostraba que 2 es racional Y 2 es irracional conduce al conjunto vacío (o con ). Tenía en mente que D es una tupla de enteros. Entonces Asignado a pero no estaba seguro de a qué Asignado. ¿Sabes cómo terminar este ejemplo de una manera sensata o señalarme un ejemplo?

\sqrt{2}

$\sqrt 2$

[[2 is rational]]

$[\![ 2 \text{ is rational} ]\!]$

(2, 1)

$(2,1)$

[[2 is irrational]]

$[\![ 2 \text{ is irrational }]\!]$

— Charlie Parker

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Ahí es donde pueden entrar las filosofías de las matemáticas. Los platónicos creen que la verdad de las afirmaciones teóricas establecidas (digamos) son simplemente conocidas sin necesidad de recurrir a la lógica. Posiblemente para ellos, las expresiones teóricas establecidas son el significado de fórmulas lógicas. Los formalistas utilizarán enfoques sintácticos, en lugar de semánticos, es decir, "verdadero" = "demostrable". Los constructivistas tienen una noción diferente de "verdad" y la escuela secundaria más orientada a la computación de ellos sería testigo de la "verdad" a través de un programa.

— Derek Elkins salió del SE

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La solidez y la consistencia son propiedades de los sistemas deductivos. La solidez solo se puede definir con respecto a alguna semántica que se supone que se proporciona independientemente del sistema deductivo.

En el ámbito de la semántica, las dos propiedades están relacionadas

Definición 1 ( Solidez [Semántica] - tomado de Wikipedia ) La solidez de un sistema deductivo es la propiedad de que cualquier oración que sea demostrable en ese sistema deductivo también es verdadera en todas las interpretaciones o estructuras de la teoría semántica para el lenguaje sobre el cual esa teoría Es basado.

Definición 2 ( Consistencia [Semántica] ) Un conjunto de oraciones en el idioma es consistente si y sólo si existe una estructura de la lengua que satisface todas las oraciones en . Un sistema deductivo es consistente si existe una estructura que satisfaga todas las fórmulas demostrables en él. $A$ $\mathfrak{L}$ $\mathfrak{L}$ $A$

Con las dos definiciones dadas anteriormente, está claro que la solidez implica consistencia. Es decir, si el conjunto de todas las oraciones comprobables se mantiene en todas las estructuras del lenguaje, entonces existe al menos una estructura que las satisface.

— Dmitri Chubarov
fuente

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de hecho, evité la wikipedia explícitamente porque no entiendo qué significa "con respecto a la semántica". ¿Te importaría aclarar lo que eso significa? Además, ¿te importaría explicar un poco más claramente por qué su solidez clara implica consistencia? Por supuesto, no está claro para mí ya que esta pregunta existe: p

— Charlie Parker

@CharlieParker Leí tus comentarios en otras publicaciones. No estoy seguro de que exista un texto para principiantes que explique los conceptos básicos de los sistemas de prueba y la teoría de modelos mejor que los capítulos introductorios de "Teoría de modelos" de Hodges. Una excepción es "A Shorter Model Theory" del mismo autor. Confieso que, en mi publicación, hice trampa y definí la coherencia como satisfacción , porque el punto de hablar sobre la coherencia es tener una caracterización de la satisfacción dentro del sistema de prueba.

— Dmitri Chubarov

¡Gracias! ¡Los verificare! En realidad, no necesito un "libro para principiantes" y un buen libro es bueno. ¡Si el libro también enfatiza intuiciones e ideas en lugar de solo pruebas, eso sería aún mejor!

— Charlie Parker

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Su sistema de prueba no es sólido ni consistente, ya que no es una proposición verdadera a menos que , en cuyo caso no es una proposición verdadera. Este argumento muestra que cada sistema de prueba de sonido también es consistente. $A$ $A \equiv \top$ $\lnot A \equiv \bot$

— Yuval Filmus
fuente

¿Qué tiene de malo tener una función que asigne cosas a Verdadero o Falso? y son símbolos que se asignan a True (como en el sistema que definí). No estoy seguro de lo que técnicamente está mal con eso más allá de no ser "interesante" para hacer matemáticas reales. Pero definir un sistema real para hacer matemáticas no era el objetivo de mi pregunta.

T r u t h (\cdot)

$Truth(\cdot)$

A

$A$

\neg A

$\neg A$

— Charlie Parker

La verdad tiene una definición semántica: evaluar a verdadero bajo todas las asignaciones de verdad. No puede elegir cómo define este término.

— Yuval Filmus

Quizás ahí es donde estoy confundido, de ahí mi pregunta. Aunque técnicamente Scott mencionó que la verdad no se puede definir matemáticamente ... pero ignoremos ese tecnicismo en aras de la discusión para que pueda entender el problema. ¿Puedes explicar de nuevo qué significa la verdad? gracias por su paciencia. :)

— Charlie Parker

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En el contexto de la lógica proposicional, una fórmula es una tautología si es verdadera bajo todas las asignaciones de verdad. Un sistema de prueba proposicional es sólido si todas las fórmulas que prueba son tautológicas.

— Yuval Filmus

Sé que estás tratando de ayudar y lo aprecio, pero de alguna manera tu prueba es demasiado corta para explicarme realmente qué salió mal con mi ejemplo en la publicación original. Si puedes aclarar eso sería genial. Supongo que mi pregunta es, ¿qué asignaciones de verdad traen problemas al sistema que sugerí?

— Charlie Parker

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A menudo, cuando encontramos sistemas lógicos, están motivados por un intento de describir un fenómeno preexistente. Por ejemplo, la aritmética de Peano es un intento de axiomatizar los números naturales junto con las operaciones de suma y multiplicación.

La solidez solo se puede definir en relación con el fenómeno que está intentando describir, y esencialmente significa que sus axiomas y reglas de inferencia realmente describen la cosa en cuestión. Entonces, por ejemplo, la aritmética de Peano es sólida porque sus axiomas y reglas de inferencia realmente son verdaderas para los números naturales.

Esto, por supuesto, implica que usted tiene un concepto de "números naturales" más allá de la definición de Peano de ellos, y alguna noción de lo que es verdadero o falso para los números naturales sin haber derivado estas verdades de ningún conjunto particular de axiomas. Intentar explicar de dónde provienen esas verdades o cómo se pueden verificar puede llevarte a aguas filosóficas. Pero si se da por sentado que hay números naturales, y hay una colección de hechos verdaderos sobre ellos, entonces puede ver el proyecto de axiomatización como un simple intento de llegar a una especificación formal concisa a partir de la cual muchos de los más importantes las verdades se pueden derivar. Entonces, una axiomatización es sólida si todo lo que puede probar realmente está en la colección de verdades especificada previamente, es decir,

(Tenga en cuenta en particular que su especificación formal no probará todo lo que es cierto sobre los números naturales, y además no describirá de manera única los números naturales en el sentido de que hay otras estructuras, diferentes de los números naturales, en las que los axiomas de Peano son también cierto)

En la lógica de primer orden, al menos, una teoría es coherente si tiene algún modelo. La solidez significa que tiene el modelo específico que deseaba: la estructura particular que intentaba describir con su teoría realmente es un modelo de su teoría. Desde esta perspectiva, está claro por qué la solidez implica consistencia.

Como ejemplo de una teoría que es consistente pero no sólida: la aritmética de Peano, PA, es capaz de codificar fórmulas lógicas como construcciones aritméticas, y en particular puede codificar la oración "PA es consistente" ("no hay prueba de falsedad de los axiomas de la AP "). Llama a esta oración Con (PA). También puede ser consciente de que (dado que es sólido y, por lo tanto, consistente), PA no puede probar Con (PA), según el primer teorema de incompletitud de Gödel. Esto también significa que la teoría PA + $\neg$ Con (PA) no puede probar una contradicción, por lo que debe ser consistente. Pero no es sólido: afirma que existe un número natural que codifica una prueba de falsedad de los axiomas de la AP, pero no es posible que exista tal número en los números naturales "reales", ya que de lo contrario podríamos extraer una prueba genuina de la inconsistencia de PA de ella.

PA + Con (PA) tiene modelos, pero son modelos que deben incluir objetos "extra", "números naturales no estándar", incluido uno que, según afirma, codifica la "prueba" en cuestión. La teoría simplemente no está equipada con las herramientas necesarias para distinguir estos elementos no estándar de los miembros genuinos de , o para demostrar que la prueba no es una prueba legítima. $\neg$ $\mathbb N$

Alternativamente, puede interpretar esto como: PA + Con (PA) es un sistema lógico perfectamente legítimo: simplemente no describe con precisión los números naturales, y los números naturales no son un modelo de ello. $\neg$

Una cosa más: no asumimos que los axiomas son verdaderos por definición. Todos los axiomas son, por definición, solo los componentes básicos de las pruebas. Son solo afirmaciones: solo son verdaderas o falsas cuando se aplican a objetos matemáticos particulares. Puede tener axiomas falsos, es bastante tonto, porque su sistema no necesariamente será sólido e inmediato.

— Ben Millwood
fuente

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Para tener una respuesta concisa (e intuitiva) parafrasearé lo que Scott Aaronson dijo en su conferencia MIT 6.045 / 18.400. Él dijo algo como esto:

La solidez significa que todo lo comprobable es cierto. Dado que la coherencia significa que no hay contradicciones y que la solidez ya está involucrada, el concepto de verdad y la verdad deben ser consistentes (es decir, ¡Verdadero! = Falso), entonces debe significar que los sistemas de sonido también son consistentes. Entonces, la solidez implica consistencia porque (verdaderamente) las cosas verdaderas no tienen contradicciones.

Ahora que reflexiono, me doy cuenta de que tenía algunas suposiciones / ideas incorrectas:

No me di cuenta de que la solidez era sobre semántica. Por lo tanto, no me di cuenta de que el solo uso de reglas de inferencia de los axiomas no es suficiente para conducir a verdaderas consecuencias (y que no lo garantiza, lo que pensé que era imposible alcanzar cosas contradictorias siempre que comenzáramos desde los axiomas y reglas de inferencia válidas).
Pensé que mientras los axiomas fueran ciertos y las reglas de inferencia tuvieran sentido, todo lo que procediera sería cierto. De lo que ahora me doy cuenta podría no ser cierto, ya que si solo tenemos una lista gigante de axiomas y reglas de inferencia, es difícil razonar si todo lo que sigue será cierto. es decir, simplemente comenzar desde un axioma y usar una regla de inferencia válida no es suficiente para garantizar que el siguiente paso sea verdadero.
Lo anterior se combina esencialmente con el hecho de que no me di cuenta de que hay dos niveles de complejidad, 1) semántica 2) sintáctica. Arrancar el juego de símbolos crujientes puede conducir a contradicciones.
No me di cuenta de que no conocía la caracterización adecuada de la verdad, que Derek hizo un gran trabajo en la caracterización.

— Charlie Parker
fuente

"Pensé que mientras los axiomas fueran ciertos y las reglas de inferencia tuvieran sentido, todo lo que sucediera sería cierto". Para una noción adecuadamente precisa de "sentido" esto ES correcto. Si su sistema no funciona, entonces (al menos) uno de sus axiomas es falso o las reglas de inferencia no son válidas.

— Ben Millwood

@BenMillwood pero eso está mal, ¿no? Debido al segundo teorema de incompletitud de Godel. Para cualquier sistema formal F que abarque aritmética, uno no puede probar su consistencia dentro de F. Supuse que eso significa que mi suposición de solidez es imposible (es decir, no podemos tener un sistema formal de que todo lo demostrable en él sea Verdadero porque eso sería implica consistencia que es imposible, a menos que, por supuesto, tenga una idea errónea sobre el segundo teorema de incompletitud). Para ser sincero, estoy bien si no tenemos integridad, lo que me preocupa es que ni siquiera podemos tener consistencia.

— Charlie Parker

F ciertamente puede ser consistente, simplemente no puede encontrar una prueba de ese hecho en F. Debe recurrir a un sistema más poderoso o a argumentos informales, o simplemente aceptar algún tipo de incertidumbre de que aunque F pueda ser consistente no será capaz de construir un argumento hermético de que es así.

— Ben Millwood

@BenMillwood, supongo que eso es lo que estoy asumiendo en mi respuesta. Que existe la incertidumbre de que las pruebas realmente funcionen y que el siguiente paso podría conducir a cierta falsedad. Si supiera que eso no es cierto, entonces sabría con seguridad de alguna manera que nunca llegaré a una contradicción que viole el segundo teorema de incompletitud de Godel. O eso es lo que entiendo hasta ahora en este momento.

— Charlie Parker

@BenMillwood Supongo que he abandonado la creencia de que la aplicación de reglas de inferencia nos da las siguientes declaraciones que son verdaderas con un 100%. En cambio, creo que he asumido implícitamente la creencia de que avanzar es solo una cuestión de sintáctica en lugar de semántica ... podría estar equivocado, por supuesto, este tema parece confuso y sutil.

— Charlie Parker