Tenemos 3 casos:
Existe una prueba de que . Entonces hay un algoritmo que resuelve el problema "Emitir una prueba de que P = N P " que se ejecuta en tiempo O ( 1 ) . Codifica la prueba en la máquina Turing y la emite. Se ejecuta al mismo tiempo sin importar su entrada.P=NPP=NPO(1)
Del mismo modo, si existe una prueba de que , entonces podemos escribir un algoritmo que emite esta prueba en el tiempo O ( 1 ) .P≠NPO(1)
Si no existe ninguna prueba de cualquiera de los casos, que la complejidad mínima de encontrar una prueba para cualquiera es : ninguna máquina de Turing nunca puede detener y emitirá un comprobante de cualquiera, ya que no existen tales pruebas.O(∞)
El hecho de que no hayamos encontrado ninguna prueba no significa que no exista, y las clases de complejidad se definen en términos de lo que existe.
Más precisamente, no podemos saber con precisión cuán difícil es encontrar una prueba de o lo contrario hasta que sepamos el resultado, que de alguna manera derrota el punto.P=NP
Lo que sí sabemos es que, en general, el problema de "Tomar una declaración en la lógica de predicados y determinar si hay una prueba de ello" es indecidible. Por lo tanto, no existen procedimientos genéricos de generación de pruebas en los que podamos conectar P vs NP, que garanticen que produzcan un resultado.