¿Versión constructiva de la capacidad de decisión?

Hoy en el almuerzo, mencioné este problema con mis colegas, y para mi sorpresa, el argumento de Jeff E. de que el problema es decidible no los convenció ( aquí hay una publicación estrechamente relacionada sobre el desbordamiento matemático). Un enunciado del problema que es más fácil de explicar ("¿es P = NP?") También es decidible: sí o no, por lo que una de las dos TM que siempre generan esas respuestas decide el problema. Formalmente, podemos decidir el conjunto $S :=\{|\{P, NP\}|\}$ : la máquina que emite $1$ solo para la entrada $1$ y de lo contrario $0$lo decide, o la máquina que lo hace para la entrada $2$ .

Uno de ellos se redujo básicamente a esta objeción: si así de débil es el criterio de capacidad de decisión, lo que implica que cada pregunta que podemos formalizar como un lenguaje que podemos demostrar que es finito es decidible, entonces deberíamos formalizar un criterio que no genera ningún problema con muchas respuestas posibles que se puedan formalizar de esta manera, se puede decidir. Si bien el siguiente es posiblemente un criterio más sólido, sugerí que tal vez esto podría hacerse preciso al exigir que la capacidad de decisión dependa de poder mostrar una TM, básicamente proponiendo una visión intuicionista del asunto (que no me inclino hacia, ni ¿Alguno de mis colegas, todos ellos aceptan la ley del medio excluido).

¿Se ha formalizado y posiblemente estudiado una teoría constructiva de la capacidad de decisión?

Creo que la pregunta que intenta hacer es "¿es constructiva la teoría de la computabilidad?". Y esta es una pregunta interesante, como puede ver en esta discusión en la lista de correo de Fundamentos de las Matemáticas.

Como era de esperar, se ha considerado, ya que mucha teoría de la recursividad fue desarrollada por personas con sensibilidades constructivas y viceversa. Véase, por ejemplo, el libro de Besson y la venerable Introducción a la metamatemática . Está bastante claro que los primeros dos capítulos de la teoría de la recursividad sobreviven moviéndose a un entorno constructivo con cambios mínimos: por ejemplo, el teorema snm, el teorema de Rice o los teoremas de recursión de Kleene sobreviven sin cambios.

Sin embargo, después de los primeros capítulos, las cosas se ponen un poco más difíciles. En particular, los niveles más altos de la jerarquía aritmética generalmente se definen por una noción de verdad. En particular, los teoremas ampliamente utilizados, como el teorema de base baja, parecen ser explícitamente no constructivos.

Quizás una respuesta más pragmática, sin embargo, es que estos "lenguajes paradójicamente computables" son simplemente una idiosincrasia, que puede (y ha sido) estudiada en gran medida, como conjuntos de reales no medibles, pero que una vez que la sorpresa inicial ha sido superado, uno puede pasar a cosas más interesantes.

En la lógica clásica, cada declaración es verdadera o falsa en cualquier modelo dado. Por ejemplo, cualquier declaración de primer orden sobre números naturales es verdadera o falsa en el "mundo real" (conocido en este contexto como verdadera aritmética ). ¿Qué pasa con el teorema de incompletitud de Gödel, entonces? Simplemente establece que no se ha completado una axiomatización recursivamente enumerable de la aritmética verdadera.

$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$hasta que se encuentre uno, y luego proceda en consecuencia. ¡Podemos probar que esta máquina acepta su idioma, a pesar de que todavía no sabemos exactamente cuál es ese idioma!

$\mathsf{P} \stackrel{?}{=} \mathsf{NP}$

(descargo de responsabilidad, una respuesta difusa a una pregunta difusa que quizás se ajuste mejor a la teoría ). la constructibilidad es un "gran problema" en las matemáticas teóricas, pero aparece especialmente en contextos continuos como la paradoja semifamosa de Banach-Tarski . estas paradojas generalmente no parecen haberse mostrado en "CS " más discretas hasta ahora " . Entonces, ¿cuál es la construcción (el análogo / paralelo de) en CS? La respuesta no parece tan clara. es un concepto que se origina en la investigación matemática más que CS y los dos no parecen estar unidos en este punto crucial demasiado "hasta ahora" .

Una respuesta es que la teoría de la capacidad de decisión en realidad parece ser una variación de la constructibilidad, es decir, es un método estricto para determinar qué conjuntos son computables y que parecen estar estrechamente relacionados.

la constructibilidad en el fondo se ocupa de algunos problemas de "independencia de ZFC" y Aaronson considera que esas áreas son extensas en este documento Prt vs NP, ¿Es P vs NP formalmente independiente? .

no se muestra realmente que las "paradojas" parecen apuntar hacia cuestiones de constructibilidad, pero uno podría tomar eso como una guía aproximada para una analogía aproximada como en el artículo de Aaronson donde considera, por ejemplo, los resultados del oráculo que parecen tener un sabor "paradójico" en particular Baker Gill Solovay 1975 resultado de que existen oráculos tanto tal que P ^A = NP ^A y P ^B ≠ NP ^B . Otros paradójicos como thms son los teoremas de Blum gap y speedup .

Además, ¿es mera coincidencia que CS se centre en funciones construibles "tiempo / espacio" en sus teoremas fundamentales de jerarquía de tiempo / espacio? (que luego excluye las paradojas similares a Blum casi "por diseño" )

otra respuesta es que esto está bajo investigación / investigación activa, por ejemplo, como en este hallazgo. se sabe que la constructibilidad está ligada a "grandes cardenales" en matemáticas: estrategias ganadoras para juegos infinitos: desde grandes cardenales hasta ciencias de la computación / Ressayre.

Utilizando el gran axioma cardinal de los "objetos punzantes", Martin demostró la determinación analítica: la existencia de una estrategia ganadora para uno de los jugadores en cada juego infinito de información perfecta entre dos jugadores, siempre que el conjunto ganador de uno de los jugadores sea analítico. uno. Modifico y complemente su prueba para obtener una nueva prueba del teorema de determinación de estado finito de Rabin, Buechi-Landweber, Gurevich-Harrington: existencia de una estrategia ganadora calculada por una máquina de estados finitos, cuando los conjuntos ganadores del jugador son ellos mismos finitos Estado aceptado.