Dijkstra favorecerá la solución con el menor número de bordes si varias rutas tienen el mismo peso

Puedes modificar cualquier gráfico $G$ para que Dijkstra encuentre la solución con el mínimo número de aristas así:

Multiplique cada peso de borde con un número , luego agregue al peso para penalizar cada borde adicional en la solución, es decir$a$$1$

$w'(u,v)=a*w(u,v)+1$

Esto no funciona para todos los valores de ; necesita ser al menos para que esto funcione. Si no es este número mínimo, es posible que no elija la ruta más corta. ¿Cómo encuentro este valor mínimo ?$a$$a$$x$$a$$x$

PD. Esto se hizo recreativamente, terminé con la tarea hace mucho tiempo.

Dado un gráfico $G = (V,E,w)$, definimos $G'=(V,E,w')$ con $w'(e) = aw(e) + 1$ dónde $a = |E| + \varepsilon$ para algunos $\varepsilon \geq 0$ como se propone en los comentarios de la pregunta.

Lemma
Let$P$ un camino en $G$ con costo $C$es decir $w(P)=C$. Entonces,$P$ ha costado $aC + |P|$ en $G'$es decir $w'(P) = aC + |P|$.

El lema se sigue directamente de la definición de $w'$.

Llama al resultado de Dijkstra en $G'$ $P$, que es el camino más corto en $G'$. Asumir$P$ no era un camino más corto con menos aristas (entre todos los caminos más cortos) en $G$. Esto puede suceder de dos maneras.

1. $P$ no es el camino más corto en $G$.
   Entonces, hay un camino$P'$ con $w(P') < w(P)$. Como$|P|,|P'| \leq |E| \leq a$, esto implica que también $w'(P') < w'(P)$con el lema anterior. Esto contradice que$P$ fue elegido como el camino más corto en $G'$.
2. $P$es una ruta más corta pero hay una ruta más corta con menos aristas.
   Entonces, hay otro camino más corto$P'$ - es decir $w(P) = w(P')$ -- con $|P'| < |P|$. Esto implica que$w'(P') < w'(P)$ por el lema anterior, que nuevamente contradice que $P$ es un camino más corto en $G'$.

Como ambos casos han llevado a una contradicción, $P$ es de hecho un camino más corto con menos aristas en $G$.

Eso cubre la mitad de la propuesta. Qué pasa$a < |E|$es decir $a = |E| - \varepsilon$ con $\varepsilon \in (0,|E|)$?

1. En realidad, también necesitamos eso $a$ o todos los pesos en $G$son enteros De otra manera,$w(P') < w(P)$ no causa los pesos en $G'$ ser al menos $|E|$aparte. Sin embargo, esto no es una restricción; siempre podemos escalar$w$ con un factor constante para que todos los pesos sean enteros, suponiendo que comencemos con pesos racionales.