¿Existe alguna relación concreta entre el teorema de incompletitud de Gödel, el problema de la detención y las máquinas universales de Turing?

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Siempre he pensado vagamente que la respuesta a la pregunta anterior fue afirmativa en las siguientes líneas. El teorema de incompletitud de Gödel y la indecidibilidad del problema de detención son resultados negativos sobre la capacidad de decisión y se establecen mediante argumentos diagonales (y en la década de 1930), por lo que de alguna manera deben ser dos formas de ver los mismos asuntos. Y pensé que Turing usaba una máquina universal de Turing para mostrar que el problema de detención no tiene solución. (Ver también esta pregunta de matemáticas . SE .)

Pero ahora que (enseñando un curso de computabilidad) miro más de cerca estos asuntos, estoy bastante desconcertado por lo que encuentro. Así que me gustaría un poco de ayuda para enderezar mis pensamientos. Me doy cuenta de que, por un lado, el argumento diagonal de Gödel es muy sutil: se necesita mucho trabajo para construir una declaración aritmética que pueda interpretarse como que dice algo sobre su propia derivabilidad. Por otro lado, la prueba de la indecidibilidad del problema de detención que encontré aquí es extremadamente simple, y ni siquiera menciona explícitamente las máquinas de Turing, y mucho menos la existencia de máquinas de Turing universales.

Una pregunta práctica sobre las máquinas Turing universales es si es importante que el alfabeto de una máquina Turing universal sea el mismo que el de las máquinas Turing que simula. Pensé que sería necesario para inventar un argumento diagonal apropiado (hacer que la máquina se simule), pero no he encontrado ninguna atención a esta pregunta en la desconcertante colección de descripciones de máquinas universales que encontré en la red. Si no fuera por el problema de detención, ¿son útiles las máquinas Turing universales en algún argumento diagonal?

Finalmente estoy confundido por esta sección adicionaldel mismo artículo de WP, que dice que una forma más débil de la incompletitud de Gödel se deriva del problema de detención: "una axiomatización completa, consistente y sólida de todas las declaraciones sobre números naturales es inalcanzable" donde se supone que el "sonido" es el debilitamiento. Sé que una teoría es consistente si no se puede derivar una contradicción, y una teoría completa sobre los números naturales parecería significar que todas las declaraciones verdaderas sobre los números naturales pueden derivarse de ella; Sé que Gödel dice que tal teoría no existe, pero no veo cómo una bestia tan hipotética podría fallar en ser sólida, es decir, también derivar declaraciones que son falsas para los números naturales: la negación de tal declaración sería verdadera. y, por lo tanto, por integridad también derivable, lo que contradiría la coherencia.

Agradecería cualquier aclaración sobre uno de estos puntos.

— Marc van Leeuwen
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Tiene un problema conceptual: la capacidad de decisión algorítmica (problema de detención) y la derivabilidad resp. demostrabilidad (lógica) son dos conceptos muy diferentes; pareces usar "capacidad de decisión" para ambos.

— Raphael

1

@Raphael: Soy muy consciente de que existe una gran diferencia conceptual entre las afirmaciones del teorema de incompletitud y la indecidibilidad del problema de detención. Sin embargo, la forma negativa de incompletitud: un sistema formal suficientemente poderoso no puede ser tanto consistente como completo, se traduce en una declaración de indecidibilidad: dado que el conjunto de teoremas deducibles en un sistema formal es semi-decidible por construcción, la completitud haría que el conjunto de no -teoremas semi-decidables también (como negaciones de teoremas, asumiendo consistencia, o también como el conjunto vacío), por lo tanto, decidibles.

— Marc van Leeuwen

sí, de hecho, las dos pruebas son conceptualmente extremadamente similares y, de hecho, una forma de verlo es que Godel construyó una especie de lógica completa de turing en aritmética. Hay muchos libros que señalan esta equivalencia conceptual. por ejemplo, Godel Escher Bach por hofstadter o Emperors New Mind por penrose ...

— vzn

Algo relacionado ... Siempre recuerdo mal la parábola de Hofstadter donde la Tortuga sigue rompiendo el récord de Aquiles, como aplicando al problema de detención. De hecho, encontré este hilo al (re) buscar mi confusión. Todavía siento que la parábola se traduce de manera más natural y directa al problema de detención, pero esto es sin una comprensión profunda de ninguno de los teoremas.

— micans

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Le recomiendo que consulte la publicación del blog de Scott Aaronson sobre una prueba del Teorema de incompletitud a través de las máquinas de Turing y el Teorema de Rosser. Su prueba del teorema de la incompletitud es extremadamente simple y fácil de seguir.

— Marcos Villagra
fuente

P

$P$

\neg P

$\lnot P$

1

Hay otra prueba similar en el libro The Nature of Computation ( amazon.com/gp/cdp/member-reviews/A2DGFHJVZ92HVI/… ) en el capítulo sobre computabilidad. Allí, los autores evitan el uso del teorema de Rosser y solo asumen la existencia de máquinas universales (es decir, la Tesis de Church-Turing). La referencia exacta es la sección 7.2.5 página 238.

— Marcos Villagra

21

La respuesta de Neel Krishnaswami al problema de detención, conjuntos inconfundibles: ¿prueba matemática común? en CSTheory apunta a referencias que conectan los resultados anteriores bajo el paraguas de la teoría de categorías.

— Suresh
fuente

1

Este documento no se menciona en la respuesta teórica (pero está en los comentarios de la publicación en el blog de Andrej Bauer de la respuesta), pero probablemente también sea una buena descripción.

— Artem Kaznatcheev

Esta es una conexión basada en la similitud de las pruebas, más que en las implicaciones entre los resultados, ¿no es así?

— Raphael

1

Bueno, el punto de vista en el documento al que Artem se vincula es que todas estas son manifestaciones de un solo hecho teórico de categoría.

— Suresh

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(Se supone que esto es un comentario a la respuesta de Suresh, pero simplemente es demasiado largo para caber allí. Así que me disculpo de antemano porque realmente no responde la pregunta de Marc).

Encuentro la respuesta de Neel. Problema detenido, conjuntos irrebatibles: ¿prueba matemática común? en CSTheory y la publicación de blog de Andrej Bauer insatisfactoria por dos razones.

$\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$ $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ $\mathbb{N}$ $\mathcal{P}(\mathbb{N})$

En segundo lugar, la prueba anterior no es satisfactoria ya que también queremos "ver" un ejemplo de lenguaje razonablemente indecidible. La prueba anterior puede verse como un argumento de conteo y, por lo tanto, no es realmente "constructiva" en ese sentido. Turing descubrió el problema de la detención como un ejemplo.

— Dai
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+1 Este es un enfoque más simple, pero todavía dudo sobre esto: "y así sabemos que debe existir un lenguaje indecidible". ¿Podría especificar la diferencia entre lenguaje indecidible y problema indecidible?

— Hernan_eche

1

x \in Σ^{*}

$x\in \Sigma^*$

P

$P$

L \subseteq Σ^{*}

$L\subseteq \Sigma^*$

L

$L$

P

$P$

L \subseteq Σ^{*}

$L\subseteq \Sigma^*$

N

$\mathbb{N}$

Pero el argumento diagonal es de hecho una prueba constructiva. A lo largo de su reducción al Teorema de Cantor, el lenguaje indecidible es el conjunto de todas las máquinas cuya codificación no está en su lenguaje aceptado.

— Willard Zhan

6

$\mbox{DTIME}(f(n)^3)$ $\mbox{DTIME}(f(n/2))$

$K$ $¬KK$

— jmad
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Para suficientemente no constante f (n).

— Yonatan N

0

"Si no fuera por el problema de detención, ¿son útiles las máquinas Turing universales en algún argumento diagonal?"

El teorema de Rice es esencialmente la generalización de la diagonalización contra las máquinas de Turing. Muestra que no hay absolutamente ninguna propiedad sobre las máquinas de Turing que pueda decidir para todas las máquinas de Turing con un solo algoritmo, a menos que esa propiedad sea válida para todas las máquinas de Turing o no. Tenga en cuenta el hecho de que la propiedad de todas las máquinas de Turing o ninguna máquina de Turing evita que el objeto de diagonalización sea una máquina de Turing, por lo tanto, no puede estar en la lista para contradecir la decisión sobre la propiedad. De hecho, este es el únicoLo que impide que el objeto de diagonalización esté en la lista y contradiga la decisión sobre la propiedad, que es que todas las propiedades de las máquinas de Turing son indecidibles. Este patrón del objeto de diagonalización que necesita ser miembro de la lista de cosas sobre las que está tratando de tomar una decisión, y sin embargo negar la decisión, es la abstracción crítica que captura el teorema de Lawvere (referenciado en el enlace en la respuesta de Suresh) para generalizar completamente la noción de diagonalización. Ahora, como sabemos por experiencia que casi todas las diagonales parecen tener la propiedad común de conducir a un resultado extremadamente importante en la lógica matemática, eso hace que el teorema de Lawvere sea una herramienta bastante interesante.

— stoopkid
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