¿Es decidible si un autómata pushdown reconoce un lenguaje regular dado?

El problema de si dos autómatas pushdown reconocen el mismo idioma es indecidible. El problema de si un autómata pushdown reconoce el idioma vacío es decidible, por lo tanto, también es decidible si reconoce un idioma finito determinado. No se puede determinar si el lenguaje aceptado por un autómata pushdown es regular. Pero ...

... ¿es decidible si un autómata pushdown reconoce un lenguaje regular dado ?

En caso de que la respuesta sea no, ¿el problema se vuelve decidible si el lenguaje regular dado tiene una altura de estrella $1$ ?

No se puede determinar si un PDA reconoce , el conjunto de todas las cadenas sobre el alfabeto de entrada.$\Sigma^*$

Adicional. Es indecidible comprobar que como consecuencia del hecho de que los cálculos "no válidos" de una TM pueden codificarse como cadenas de una CFG. Este es el Lema 8.7 de Introducción a la teoría de autómatas de Hopcroft y Ullman. Los autores se refieren para este resultado a Hartmanis (1967), Lenguajes libres de contexto y cálculos de máquina de Turing.$L(G)=\Sigma^*$

Una codificación conveniente de los cálculos de una máquina Turing es la siguiente. Una configuración de TM M es una cadena de la forma x p y donde u v es el contenido de la cinta, y el estado p se indica en la posición donde reside el cabezal. Es importante tener en cuenta que los pasos computacionales de una TM son cambios locales : u c p a v ⊢ u q c b v para la instrucción ( p , a , q , b , $M$$M$$xpy$$uv$$p$$ucpav \vdash uqcbv$ donde la cabeza se mueve hacia la izquierda, y u c p a v ⊢ u c b q v para la instrucción ( p , a , q , b , R ) donde la cabeza se mueve hacia la derecha.$(p,a,q,b,L)$$ucpav \vdash ucbqv$$(p,a,q,b,R)$

Un cálculo válido puede codificarse como una cadena donde w 0 = q 0 x codifica la configuración inicial en la cadena x , y tenemos los pasos adecuados w i ⊢ w i + 1 . La última configuración en la cadena debe ser final, es decir, tener un estado de detención / final.$w_0\#w_1^R\#w_2\#w_3^R\# \dots$$w_0 = q_0x$$x$$w_i \vdash w_{i+1}$

Ahora es un ejercicio verificar que las cadenas que no son cálculos válidos pueden ser generadas por un CFG (o aceptadas por un PDA). Las cadenas que no consisten en secuencias de configuración son incluso regulares. De lo contrario, uno no determina de manera determinista una posición donde no w i ⊢ w i + 1 . Esta parte de la cadena es generada por una gramática que es similar a una para { x # y R ∣ x , y ∈ { a , b } ∗ , x ≠ y } .$G_M$ $w_i \vdash w_{i+1}$$\{ x\#y^R \mid x,y\in \{a,b\}^* , x\neq y\}$

$M$$G_M$