Supongo que está considerando polinomios con coeficientes enteros .
Has tomado el punto de partida equivocado para tus investigaciones; Su objetivo es encontrar buenas estimaciones para las raíces reales. Buscar una fórmula algebraica para poder evaluarla con suficiente precisión es algo que puede hacer, pero en realidad no es lo correcto. (a menos que, por supuesto, "la k
enésima raíz real más grande de un polinomio" sea una de sus operaciones algebraicas)
Un punto de partida mucho mejor es usar el teorema de Sturm para aislar las raíces del polinomio. Luego puede producir mejores estimaciones mediante búsqueda binaria, pero si es demasiado lento, puede usar el método de Newton para producir rápidamente estimaciones de alta precisión.
Pero se trata solo de encontrar certificados. Todavía queda la cuestión de qué certificados pueden existir.
En primer lugar, señalaré que puede calcular directamente si dos de las raíces están separadas exactamente por unidades, por ejemplo, calculando gcd ( p ( x ) , p ( x - k ) ) . También tendrá que decidir qué quiere hacer con respecto a las raíces repetidas y tratarlas adecuadamente. Supongo que tratarás este caso especialmente.kgcd(p(x),p(x−k))
Si sabemos que las dos raíces no están exactamente separadas por unidades, eso significa que puede producir una estimación de precisión suficiente para demostrar que son mayores o menores que k unidades separadas. Por ejemplo, hay dos tipos de certificados:kk
El primer tipo (prueba en negativo) es
- no es una raíz de pap
- no tiene raíces en ( a - k , a )p(a−k,a)
- tiene tres raíces en ( a , ∞ )p(a,∞)
El segundo tipo (prueba en positivo) es
- no es una raíz de pap
- tiene al menos dos raíces en ( a - k , a )p(a−k,a)
- tiene dos raíces en ( a , ∞ )p(a,∞)
Se puede verificar un certificado utilizando el teorema de Sturm. Ahora, su pregunta sobre el tamaño de un certificado se reduce a encontrar cuántos bits de precisión necesita para representar .a
En otras palabras, ¿cuáles son los límites de los posibles valores de , donde a , b son raíces de f ?a−b−ka,bf
No estoy seguro de un gran enfoque, pero uno que debería darle algo es observar que todos estos valores son raíces del polinomio:
g(x)=Resy(f(y),f(x+y+k))
¿Por qué? Recuerde que la resultante de dos polinomios monicos es el producto de todas las diferencias de sus raíces, por lo que
g(x)=cd2∏a,b(b−(a−x−k))=∏a,b(x−(a−b−k))
donde es el coeficiente principal yd es el grado de f . (tal vez he escrito la fórmula para - g ( x ) en lugar de g ( x ) ; nunca estoy seguro del signo)cdf−g(x)g(x)
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