¿Qué sabemos sobre NP ∩ co-NP y su relación con NPI?

Un TA llegó hoy para preguntar algunas cosas sobre NP y co-NP. Llegamos a un punto en el que también estaba perplejo: ¿qué aspecto tiene un diagrama de Venn de P, NPI, NP y co-NP suponiendo que P ≠ NP (el otro caso es aburrido)?

Parece que hay cuatro opciones básicas.

1. NP ∩ co-NP = P

   En particular, co-NPI ∩ NPI = ∅

2. NP ∩ co-NP = P ∪ NPI

   En particular, co-NPI = NPI?

3. NP ∩ co-NP ⊃ P ∪ NPI ∪ co-NPI

   Una pregunta de seguimiento en este caso es cómo se relacionan NPC y co-NPC; ¿hay una superposición?

4. Otra cosa, es decir, algunos problemas de NPI están en co-NP y otros no.

¿Sabemos cuál es la correcta, o al menos cuál no puede ser verdad?

Las entradas del zoológico de complejidad para NPI y NP ∩ co-NP no inspiran mucha esperanza de que se sepa algo, pero realmente no soy lo suficientemente fluido en la teoría de la complejidad para comprender todas las otras clases (y su impacto en esta pregunta) flotando por allí .

El hecho de que P ≠ NP no excluye la posibilidad de que NP = co-NP, en cuyo caso NP ∩ co-NP = NP. Entonces, para avanzar en la discusión, supongamos que NP ≠ co-NP. En ese caso, el Corolario 9 en un enfoque uniforme de Schöning para obtener conjuntos diagonales en clases de complejidad muestra que existe cierto lenguaje en NP - co-NP que es NP-intermedio. Por lo tanto, NPI contiene estrictamente (NP ∩ co-NP) - P (tenga en cuenta que todos los idiomas en NP ∩ co-NP están en P ∪ NPI). Esta es tu opción (4).

En resumen, suponiendo P ≠ NP y NP ≠ co-NP, obtenemos esto:

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