Reclamo comercial de pizza de 34 millones de combinaciones

Un comercial de pizza afirma que puede combinar sus ingredientes en 34 millones de combinaciones diferentes. No lo creía, así que desempolvé mis oxidadas habilidades combinatorias e intenté resolverlo. Esto es lo que tengo hasta ahora: desde el sitio de pedidos en línea obtuve las opciones

corteza (4 tipos, elija 1)
tamaño (4 tipos, elija 1) algunas cortezas están limitadas a un cierto tamaño, sin tener en cuenta eso, pero me gustaría.
queso (5 tipos, elija 1)
salsa (4 tipos, elija 1)
nivel de salsa (3 tipos, elija 1)
carnes (9 tipos, elija hasta 9)
sin carnes (15 tipos, elija hasta 15)

Así que pensé que esto era un problema de combinación (el orden no es importante) y no un problema de n elegir k, se permite nulo para cualquier cosa que no sea corteza y corteza, tamaño, queso, salsa y nivel de salsa, todo sería elegir solo uno. Carnes y no carnes? Entonces eso sería: $2^?$

corteza $\binom{4}{1}=4$
tamaño $\binom{4}{1}=4$
queso $\binom{5}{1}=5$
salsa $\binom{4}{1}=4$
nivel de salsa $\binom{3}{1}=3$
carnes $2^9 = 512$
no carnes $2^{15} = 32768$

En este punto, estoy atascado, ¿cómo combino estos para llegar al número total de combinaciones posibles?

Encontré este sitio útil.

ETA: si no tengo en cuenta las limitaciones en el tamaño de la corteza, algunas cortezas solo están disponibles en ciertos tamaños, hay más de 16 mil millones; 16,106,127,360 combinaciones disponibles, por lo que fueron bastante lejos.

combinatorics discrete-mathematics

— Gebuh
fuente

¿Solo un queso? Esa es una razón para ordenar en otro lugar.

— Raphael

Tal vez son mejores para hacer pizza que las matemáticas.

— Dave Clarke

Realmente, realmente lograron su objetivo de involucrarlo con su publicidad. ¿A quién le importa si la cantidad de combinaciones es incorrecta?

— gnasher729

Tal vez nadie, pero fue un rompecabezas interesante que puso en práctica algunas habilidades matemáticas que no he usado en mucho tiempo.

— gebuh

Ok, una respuesta un poco más detallada que en los comentarios.

La elección de de se realiza mediante . Entonces, para cosas como el tamaño de la pizza, donde tienes 4 opciones (y necesitas elegir una, porque la pizza no puede ser mediana y extra grande al mismo tiempo) solo tienes opciones. De hecho, . $k$ $n$ ${n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ $4$ ${4 \choose 1}=\frac{4!}{3!}=4$

Lo interesante son cosas como las opciones sin carne. Tiene 15 y puede elegir cualquier conjunto de hasta 15. Matemáticamente, esto significa . ${15 \choose 0} + {15 \choose 1} + \cdots + {15\choose 15}$

Como mencionó, hay una buena fórmula para tales sumas: tanto, para las opciones sin carne tiene opciones , como dijiste. (ver aquí para más fórmulas).

\sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) = 2^{i}

$\sum_{i=0}^n {n \choose i} = 2^i$

2^{15} = 32768

$2^{15}=32768$

Por último, para combinar todas las opciones, simplemente multiplíquelas. Si tiene 4 tamaños posibles y, por ejemplo, 4 costras posibles, entonces tiene combinaciones diferentes en general. $4\times 4=16$

Entonces, multiplicando todo lo que obtienes 16.106.127.360, que es mayor que 34 millones.

— Sonó.
fuente