Universalidad de la puerta de Toffoli

Con respecto a la puerta cuántica de Toffoli :

1. ¿es universalmente clásico y, de ser así, por qué?
2. ¿es cuánticamente universal y por qué?

Toffoli es universal para la computación clásica (como lo muestra @Victor). Sin embargo, Toffoli NO es universal para el cálculo cuántico (a menos que tengamos algo loco como ).$P = BQP$

Para ser universal para el cálculo cuántico (según la definición habitual), el grupo generado por sus puertas debe ser denso en las unidades unitarias. En otras palabras, dado un arbitrario y una U unitaria objetivo, hay alguna forma de aplicar un número finito de puertas cuánticas para obtener un unitario$\epsilon$$U$tal que | El | U - U ′ | El | < ϵ .$U'$$||U - U'|| < \epsilon$

Toffoli en sí mismo claramente no es universal bajo esta definición, ya que siempre toma estados base a estados base, y por lo tanto no puede implementar algo que tome por ejemplo. En otras palabras, no puede crear superposición.$|0\rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$

Del artículo de Wikipedia que citó :

La puerta de Toffoli es universal; Esto significa que para cualquier función booleana f (x1, x2, ..., xm), hay un circuito que consta de compuertas Toffoli que toma x1, x2, ..., xm y algunos bits adicionales establecidos en 0 o 1 y salidas x1, x2, ..., xm, f (x1, x2, ..., xm) y algunos bits adicionales (llamados basura). Esencialmente, esto significa que uno puede usar puertas Toffoli para construir sistemas que realizarán cualquier cálculo de la función booleana deseada de manera reversible.

Lo que significa en términos simples que cualquier función booleana puede construirse solo con puertas Toffoli.

Las funciones booleanas se construyen típicamente a partir de compuertas OR, AND y NOT, que se pueden combinar para formar cualquier función booleana. Es ampliamente conocido que lo mismo es posible solo con puertas NOR o solo con puertas NAND.

La puerta de Toffoli se puede resumir como:

$\rm{Toffoli}(a, b, c) = \begin{cases} (a, b, ¬c) & \mbox{when }a=b=1 \\ (a, b, c) & \mbox{otherwise.}\end{cases}$

Como la primera y la segunda salida son siempre iguales a la primera y segunda entrada, podemos desconsiderarlas. Entonces tenemos:

$\rm{Toffoli}'(a, b, c) = \begin{cases} ¬c & \mbox{when }a=b=1 \\ c & \mbox{otherwise.}\end{cases}$

Con eso, es posible definir la puerta NAND como:

$\operatorname{NAND}(a, b) = \rm{Toffoli}'(a, b, 1)$

Como la puerta NAND es universal y la puerta NAND puede definirse como una puerta Toffoli, entonces la puerta Toffoli es universal.

Hay otra forma de demostrar que Toffoli es universal, mediante la construcción directa de las puertas AND y NOT:

$\operatorname{NOT}(x) = \rm{Toffoli}'(1, 1, x)$

$\operatorname{AND}(a, b) = \rm{Toffoli}'(a, b, 0)$

Luego, podemos construir la puerta OR utilizando las leyes de De Morgan :

$\operatorname{OR}(a, b) = \operatorname{NOT}(\operatorname{AND}(\operatorname{NOT}(a), \operatorname{NOT}(b)) = \rm{Toffoli}'(1, 1, \rm{Toffoli}'(\rm{Toffoli}'(1, 1, a), \rm{Toffoli}'(1, 1, b), 0))$

EDITAR, ya que la pregunta fue editada y su alcance cambió:

Primero, no entiendo la computación cuántica, así que si hay algo mal, agregue un comentario. Investigué un poco para tratar de completar esta respuesta y terminé con esto:

La puerta Toffoli es reversible (pero el Toffoli 'usado anteriormente no lo es). Esto significa que cualquier cálculo realizado con él se puede deshacer. Esto es:

$(a, b, c) = \rm{Toffoli}(\rm{Toffoli}(a, b, c))$

Lo que significa que para cualquier triple (a, b, c) si el Toffoli se aplica dos veces, la entrada original se obtiene como salida.

La reversibilidad es importante porque las puertas cuánticas deben ser reversibles, por lo que la puerta Toffoli (clásica) puede usarse como una puerta cuántica debido a esto.

Como se demostró aquí , la puerta Deutsch se define de manera similar a la puerta Toffoli, pero en lugar de una puerta clásica, es cuántica:

$\operatorname{Deutsch}(a, b, c) = |a,b,c\rangle \mapsto \begin{cases} i \cos(\theta) |a,b,c\rangle + \sin(\theta) |a,b,1-c\rangle & \mbox{for }a=b=1 \\ |a,b,c\rangle & \mbox{otherwise.}\end{cases}$

De esta manera, la puerta Toffoli es un caso particular de la puerta Deutsch donde:

$\rm{Toffoli}(a, b, c) = \operatorname{Deutsch}(\frac{\pi}{2})(a, b, c)$

$\frac{\pi}{2}$ ) cambios de fase (y combinando múltiples puertas, para obtener múltiplos de 90 grados). Pero esto también significa que no se puede usar para crear sobreposiciones de estado porque esto requeriría cambios de fase en ángulos que no son múltiples de 90 grados, por lo tanto, la puerta Toffoli no es una puerta cuántica universal.

Se puede obtener un conjunto de Tgate cuántico universal, si combinamos la puerta Toffoli con la puerta Hadamard. Esto es exactamente lo que hace la puerta de Deutsch.

Se pueden encontrar referencias interesantes aquí , aquí y aquí . Una posible referencia valiosa, que muestra los fundamentos de la transformación Deutsch debería estar aquí , sin embargo, el enlace está protegido con contraseña.