Decidabilidad del lenguaje de prefijo

9

A mitad de período había una variante de la siguiente pregunta:

Para un decidible, defina Muestre que no es necesariamente decidible. $L$
$Pref (L) = {x ∣ \exists y s.t. x y \in L}$ $\text{Pref}(L) = \{ x \mid \exists y \text{ s.t. } xy \in L\}$ $\text{Pref}(L)$

Pero si elijo entonces creo que también es , por lo tanto, decidible. También da el mismo resultado. Y dado que debe ser decidible, no puedo elegir el problema de detención o tal ... $L=\Sigma^*$ $\text{Pref}(L)$ $\Sigma^*$ $L=\emptyset$ $L$

¿Cómo puedo encontrar como no es decidible? $L$ $\text{Pref}(L)$
¿Qué condiciones en harán que decidible y cuál lo hará indecidible? $L$ $\text{Pref}(L)$

computability undecidability

— Sonó.
fuente

9

Tenga en cuenta que al usar un cuantificador existencial frente a un lenguaje decidible podemos obtener cualquier re lenguaje, es decir, cada lenguaje re se puede expresar como

{x \in Σ^{*} ∣ \exists y \in Σ^{*} ⟨ x, y ⟩ \in V}

$\{ x\in \Sigma^* \mid \exists y \in \Sigma^* \ \langle x,y \rangle \in V \}$

$V$

A_{T M} = {⟨ e, x ⟩ ∣ e encodes a Turing machine which accepts x}

$A_{TM} = \{ \langle e, x\rangle\ \mid \text{$e$ encodes a Turing machine which accepts $x$} \}$

$x$ $y$ $y$

Para la segunda pregunta, no existe una forma algorítmica general de verificar si los prefijos de un determinado lenguaje decidible son indecidibles. Esto se desprende del teorema de Rice.

— Kaveh
fuente

V

$V$

A_{T M}

$A_{TM}$

2

y

$y$

M_{e}

$M_e$

x

$x$

V

$V$

y

$y$

M_{e}

$M_e$

x

$x$

Esa es una buena solución!

— Ran G.

3

Metaconocimiento: desea encontrar un lenguaje no decidible que, sin embargo, tenga alguna propiedad computacional. Un lenguaje arbitrario no decidible probablemente no lo llevará muy lejos. Pero uno semi-decidible ...

$u$ $n$

u = f (n)

$u = f(n)$

Observe esta ecuación por un momento, teniendo en cuenta la capacidad de decisión y los prefijos.

$x$ $\mathrm{Pref}(L)$ $x a$ $x b$ $x a a$ $a,b,\cdots$ $\mathrm{Pref}(L)$ $\mathrm{Pref}(L)$ $S \subset \mathbb{N}$ $f$ $S$ $S = {f(x) \mid x\in\mathbb{N}}$

$0$ $1$ $:$ $\{\aleph,\beth\}$ $0$ $\aleph\aleph$ $1$ $\aleph\beth$ $:$ $\beth$ $n\in\mathbb{N}$ $\bar n$ $n$ $0$ $1$ $0$

$L = \{\bar y\mathord:\bar x \mid y = f(x)\}$ $S$ $L$ $:$ $0$ $f$ $\bar y$ $L$ $y$ $S$ $x$ $S$ $\mathrm{Pref}(L)$ $\mathrm{Pref}(L) \cap \{0,1\}^*\mathord: = S\mathord:$

— Gilles 'SO- deja de ser malvado'
fuente