Probar que cada dos caminos más largos tienen al menos un vértice en común

Si un gráfico está conectado y no tiene una ruta con una longitud mayor que , demuestre que cada dos rutas en de longitud tienen al menos un vértice en común. $G$ $k$ $G$ $k$

Creo que ese vértice común debería estar en el medio de ambos caminos. Porque si este no es el caso, entonces podemos tener una ruta de longitud . Estoy en lo cierto? $>k$

graph-theory graphs combinatorics

— Saurabh
fuente

Contraejemplo para un gráfico dirigido que no está fuertemente conectado: vértices

, aristas

, las rutas

no tienen vértices comunes.

A, B, C, D

$A,B,C,D$

A \to C

$A \to C$

A \to D

$A \to D$

B \to D

$B \to D$

A \to C

$A \to C$

B \to D

$B \to D$

— sdcvvc el

@sdcvvc, puede proporcionarlo como respuesta.

@sdcvvc Supongo que la pregunta está restringida a gráficos no dirigidos.

— Raphael

¿Puedes confirmar (o estar enfermo) que

es un gráfico no dirigido y que solo estás considerando rutas simples (= sin ciclo)?

G

$G$

— Gilles 'SO- deja de ser malvado'

@Gilles Sí, el gráfico no está dirigido y la ruta es un recorrido que contiene bordes y vértices distintos.

— Saurabh

Respuestas:

Supongamos por contradicción que $P_{1} = \langle v_{0},\ldots,v_{k}\rangle$ y $P_{2} = \langle u_{0},\ldots,u_{k}\rangle$ dos caminos en $G$ de longitud $k$ sin vértices compartidos.

Cuando $G$ está conectado, hay una ruta $P'$ conecta $v_{i}$ a $u_{j}$ para algunos $i,j \in [1,k]$ modo que $P'$ no comparte vértices con $P_{1} \cup P_{2}$ no sean $v_{i}$ y $u_{j}$ . Digamos $P' = \langle v_{i},x_{0},\ldots,x_{b},u_{j}\rangle$ (nota que puede no haber $x_{i}$ vértices, es decir, $b$ puede ser $0$ - la notación es un poco deficiente aunque).

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $i,j \geq \lceil\frac{k}{2}\rceil$ (siempre podemos revertir la numeración). Entonces podemos construir un nuevo camino $P^{*} = \langle v_{0},\ldots,v_{i},x_{1},\ldots,x_{b},u_{j},\ldots,u_{0}\rangle$ (por ir a lo largo de $P_{1}$ a $v_{i}$ , a continuación, a través del puente formado por $P'$ a $u_{j}$ , luego a lo largo de $P_{2}$ a $u_{0}$ ).

Obviously $P^{*}$ has length at least $k+1$ , but this contradicts the assumption that $G$ has no paths of length greater than $k$ .

So then any two paths of length $k$ must intersect at at least one vertex and your observation that it must be in the middle (if there's only one) follows as you reasoned.

— Luke Mathieson
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I think you need

j \leq ⌊ \frac{k}{2} ⌋

$j \leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$ , otherwise the new path is not necessarily longer. Note that

b = 0

$b=0$ is possible.

— Raphael

b

$b$

0

$0$

P^{'}

$P'$

v_{i}

$v_{i}$

u_{j}

$u_{j}$

v_{0} \to v_{i} \to u_{j} \to u_{0}

$v_{0} \rightarrow v_{i} \rightarrow u_{j}\rightarrow \mathbf{u_{0}}$

j \geq ⌈ \frac{k}{2} ⌉

$j \geq \lceil\frac{k}{2}\rceil$

u_{k}

$u_{k}$

j \leq ⌊ \frac{k}{2} ⌋

$j \leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$ would be the right condition.

— Luke Mathieson

You are right that the common vertex must occur in the middle of both paths.

However that intuition will not solve the actual problem you're trying to solve.

Instead try to demonstrate that, given any point in the path, the path segment from (and including) that point to one of the ends of the original path must have strictly greater than half as many nodes as the full path.

Once you have shown that, you will be able to both solve the problem that you were asked and verify your conjecture.

— btilly
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