Aplicación del teorema de los cuatro colores.

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Estaba leyendo el teorema de los cuatro colores y me pregunto si hay alguna aplicación práctica. (No creo que separar el mapa en cuatro colores diferentes pueda considerarse una aplicación).

Intenté buscar en Google las aplicaciones, pero no pude encontrar ninguna.

graph-theory colorings

— Computernerd
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Como se sabía que cinco colores son suficientes (con una prueba simple), la verdadera pregunta es: ¿qué aplicación se beneficia del hecho de que son suficientes cuatro en lugar de cinco colores?

— Yuval Filmus

Podría decirse que colorear mapas no es una aplicación, ya que el teorema no permite territorios desconectados. Por ejemplo, Alaska, Hawai y los Estados Unidos continentales deben ser del mismo color. La posibilidad de territorios desconectados significa que el gráfico correspondiente a un mapa no es necesariamente plano: de hecho, cualquier gráfico con bordes puede realizarse teniendo islas de manera que los países y compartan una isla si es un borde en el gráfico. No recuerdo si el mapa del mundo real es de 4 colores; probablemente lo es.

m

$m$

m

$m$

i

$i$

j

$j$

i j

$ij$

— David Richerby

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Una de las aplicaciones más notables de 4 Color Theorem se encuentra en los mástiles de teléfonos móviles. Todos estos mástiles cubren ciertas áreas con cierta superposición, lo que significa que no todos pueden transmitir en la misma frecuencia. Un método simple para garantizar que no haya dos mástiles que se superpongan tienen la misma frecuencia es darles a todos una frecuencia diferente. Pero, como el gobierno posee todas las frecuencias y cobra por cada una, uno quiere usar el mínimo número posible de frecuencias. Las áreas cubiertas se pueden dibujar como un mapa y las diferentes frecuencias se pueden representar como colores.

— Raaman Nair
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En otras palabras, suponiendo que se pueden encontrar cuatro colores de manera eficiente, solo necesita reservar cuatro frecuencias por adelantado, incluso si se desconoce la ubicación exacta de los mástiles (o incluso podría cambiar).

— Yuval Filmus

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¿Es esto realmente cierto? No se garantiza que el gráfico sea plano (cinco mástiles lo suficientemente juntos provocarán una

K_{5}

$K_5$ subgraph), por lo que no se garantiza que sea de cuatro colores.

— David Richerby

@YuvalFilmus Los gráficos planos pueden ser de cuatro colores en tiempo cuadrático: Robertson, Sanders, Seymour y Thomas, "Gráficos planos eficientemente de cuatro colores", Proc. STOC 1996 ( PDF ).

— David Richerby

En realidad, permíteme volver y hacer una declaración más fuerte. Esto no es cierto, precisamente porque cinco mástiles colocados muy cerca resultan en un

K_{5}

$K_5$ . De hecho, esta es una aplicación del hecho de que existe un algoritmo de tiempo polinómico para calcular el número cromático de los gráficos de unidades de disco , que no son necesariamente planos y no son necesariamente de 4 colores.

— David Richerby

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Los problemas de coloración de gráficos son ampliamente aplicables al problema de la programación.

Considere una universidad, donde está tratando de programar horarios para todos los exámenes finales. Algunos estudiantes toman más de una clase, por lo que debe asegurarse de que no tengan dos exámenes programados al mismo tiempo. Sin embargo, desea que el período de redacción de su examen sea lo más breve posible, para ejecutar tantos exámenes simultáneamente como sea posible.

Puede representar esto como un problema de coloración gráfica: usted hace $G=(V,E)$ donde cada clase es un vértice y un borde entre vértices cada vez que dos clases contienen el mismo alumno. Sus colores representarán diferentes intervalos de tiempo de examen. El número mínimo con el que puede colorear ese gráfico es el menor número de intervalos de tiempo que necesita para escribir todos sus exámenes.

El problema en general es NP difícil, pero si tenía algún conocimiento sobre su horario, por ejemplo, que era plano, entonces podría aplicar el teorema de 4 colores para escribir todos los exámenes juntos.

No estoy 100% seguro de que alguna vez obtenga un gráfico plano en un problema de programación de la vida real, pero aquí hay una lección más amplia: los gráficos son ampliamente aplicables a cosas que no son obvias de inmediato. El teorema de 4 colores no se trata solo de gráficos y mapas, sino que puede usarse para modelar problemas de la vida real en los que está expresando un conjunto de objetos y algunas relaciones binarias entre esos objetos.

— jmite
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Parece relativamente poco probable que obtenga un gráfico plano en un problema de programación ya que, como usted dice, eso le permitiría resolver todo utilizando solo cuatro ranuras. (Por ejemplo, en el ejemplo específico que da, el gráfico no es plano si hay un solo estudiante que toma cinco clases).

— David Richerby

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sí gráfico plano $n$ -color para bajo / fijo $n$ tiene aplicaciones mínimas, principalmente coloración de mapa plano. sin embargo $n$ -color para arbitrario $n$ es NP completo , fue uno de los ^primeros problemas comprobados NP completo, por lo tanto, vincularse al edificio masivo de la teoría. pero en realidad incluso $n$ -color puede reducirse a 3 colores a través de una transformación básica. [1] entonces $n$ colorear para $n \geq 3$ está NP completo (pero no restringido a gráficos planos) . Probablemente hay otras reducciones a 4 colores y mapas planos estudiados en la literatura. es decir, para tener una mejor idea de su importancia, habría que estudiar las posibles reducciones, que es un tema complejo / avanzado / amplio.

pero otro ángulo es que la cuestión de la coloración en 4 de un mapa / gráfico plano fue un problema abierto difícil en matemáticas / ciencias de la computación durante muchas décadas (en realidad más de 1½ siglo de antigüedad , y uno de los primeros problemas gráficos muy avanzados). Las matemáticas avanzan a través de la resolución de problemas no resueltos. encaja en un patrón central común de "problemas que son fáciles de enunciar pero las soluciones / pruebas estuvieron inaccesibles durante mucho tiempo y son muy complejas". Esta es una asimetría fundamental generalizada en matemáticas que muestra los límites del apalancamiento matemático / teórico .

Las técnicas que tienen éxito pueden aplicarse a otros problemas no resueltos y, a veces, abren nuevas perspectivas / abstracciones teóricas / conceptuales. a veces las pruebas notables son valiosas por derecho propio y el teorema de 4 colores se ajusta a esta categoría. Es una de las pruebas de teorema automatizadas tempranas más sofisticadas. Se han realizado más trabajos para mejorar las simplificaciones legibles por humanos desde que se descubrió y causó un choque relativo a través de la comunidad teórica en su anuncio, y provocó mucho más análisis y comentarios. Sirve como un punto de referencia clave / hito / caso de prueba para mejoras en la demostración automatizada de teoremas .

[1] 3 colores son NP completos

— vzn
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Probablemente sea una buena idea usar un símbolo diferente de

n

$n$ para denotar el número de colores, ya que

n

$n$ a menudo denota la cardinalidad del conjunto de vértices. Además, no sabemos cómo hacer gráficas planas de 3 colores en tiempo polinómico.

— Juho