Número de camarillas en gráficos aleatorios

Hay una familia de gráficos aleatorios $G(n, p)$ con $n$ nodos ( debido a Gilbert ). Cada borde posible se inserta independientemente en $G(n, p)$ con probabilidad $p$ . Sea $X_k$ el número de camarillas de tamaño $k$ en $G(n, p)$ .

Sé que , pero ¿cómo lo demuestro? $\mathbb{E}(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}$

¿Cómo mostrar que para ? ¿Y cómo mostrar que para y una constante fija y arbitraria ? $\mathbb{E}(X_{\log_2n})\ge1$ $n\to\infty$ $\mathbb{E}(X_{c\cdot\log_2n}) \to 0$ $n\to\infty$ $c>1$

— usuario1374864
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Básicamente, hay tres preguntas involucradas.

Sé que , pero ¿cómo lo pruebo? $E(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}$

Utiliza la linealidad de la expectativa y alguna reescritura inteligente. En primer lugar, tenga en cuenta que Ahora, al tomar la expectativa de , uno simplemente puede extraer la suma (debido a la linealidad) y obtener Al extraer la suma, eliminamos todas las dependencias posibles entre subconjuntos de nodos. Por lo tanto, ¿cuál es la probabilidad de que sea una camarilla? Bueno, no importa en qué consiste , todas las probabilidades de borde son iguales. Por lo tanto,

X_{k} = \sum_{T \subseteq V, | T | = k} 1 [T is clique] .

$X_k = \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} \mathbb{1}[T \text{ is clique}].$

X_{k}

$X_k$

E (X_{k}) = \sum_{T \subseteq V, | T | = k} E (1 [T is clique]) = \sum_{T \subseteq V, | T | = k} P r [T is clique]

$\mathrm{E}(X_k) = \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} \mathrm{E}(\mathbb{1}[T \text{ is clique}]) = \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} \mathrm{Pr}[T \text{ is clique}]$

T

$T$

T

$T$

P r [T is clique] = p^{(\binom{k}{2})}

$\mathrm{Pr}[T \text{ is clique}] = p^{k \choose 2}$ , ya que todos los bordes en este subgrafo deben estar presentes. Y luego, el término interno de la suma ya no depende de , dejándonos con .

T

$T$

E (X_{k}) = p^{(\binom{k}{2})} \sum_{T \subseteq V, | T | = k} 1 = (\binom{n}{k}) \cdot p^{(\binom{k}{2})}

$\mathrm{E}(X_k) = p^{k \choose 2} \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} 1 = {n \choose k} \cdot p^{k \choose 2}$

Cómo mostrar eso para : $n\rightarrow\infty$ $E(X_{\log_2n})\ge1$

No estoy completamente seguro de si esto es correcto. Aplicando un límite en el coeficiente binomial, obtenemos

E (X_{\log n}) = (\binom{n}{\log n}) \cdot p^{(\binom{\log n}{2})} \leq {(\frac{n e p^{\frac{(\log n)}{4}}}{\log n})}^{\log n} = {(\frac{n e \cdot n^{(\log p) / 4}}{\log n})}^{\log n} .

$E(X_{\log n}) = {n \choose \log n} \cdot p^{\log n \choose 2} \leq \left(\frac{n e p^\frac{(\log n)}{4}}{\log n}\right)^{\log n} = \left(\frac{ne \cdot n^{(\log p) / 4}}{\log n}\right)^{\log n}.$ (Tenga en cuenta que delimitado por .) Sin embargo, ahora uno podría elegir y obtener eso , lo que hace que todo el término vaya a para grande . ¿Quizás te estás perdiendo algunas suposiciones en ?

p^{\frac{- 1 + \log n}{2}}

$p^\frac{-1 + \log n}{2}$

p^{\frac{\log n}{4}}

$p^\frac{\log n}{4}$

p = 0.001

$p = 0.001$

\log_{2} 0.001 \approx - 9.96

$\log_2 0.001 \approx -9.96$

0

$0$

n

$n$

p

$p$

— HdM
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¿Está bien? . ¿No tiene que ser pero ahora no sé cómo continuar

E (X_{\log n}) = (\binom{n}{\log n}) \cdot p^{(\binom{\log n}{2})} \leq {(\frac{n e p^{\frac{(\log n)}{4}}}{\log n})}^{\log n}

$E(X_{\log n}) = {n \choose \log n} \cdot p^{\log n \choose 2} \leq \left(\frac{n e p^\frac{(\log n)}{4}}{\log n}\right)^{\log n}$

E (X_{\log n}) = (\binom{n}{\log_{2} n}) \cdot p^{(\binom{\log_{2} n}{2})} \leq {(\frac{n e}{\log_{2} n})}^{\log n} \cdot p^{\frac{(\log_{2} (n) \cdot e)^{2}}{4}}

$E(X_{\log n}) = {n \choose \log_2 n} \cdot p^{\log_2 n \choose 2} \leq \left(\frac{n e}{\log_2 n}\right)^{\log n}\cdot p^\frac{(\log_2 (n)\cdot e)^2}{4}$

— user1374864

Apliqué dicho enlace solo en . Para , puede observar que . Ahora, desde , queremos reducir su exponente (convencerse por qué). Para una razonablemente grande , tenemos que . Por lo tanto, el cálculo anterior debe ser correcto ...

(\binom{n}{\log n})

${n \choose \log n}$

p

$p$

(\binom{\log n}{2}) = (\log n) (\log n - 1) / 2

${\log n \choose 2} = (\log n) (\log n -1)/2$

p \leq 1

$p \leq 1$

n

$n$

(\log n) (\log n - 1) / 2 > (\log n)^{2} / 4

$(\log n) (\log n -1)/2 > (\log n)^2 / 4$

— HdM

¿Qué pasa con la tercera pregunta?

— Cola

Sufre el mismo problema que la segunda pregunta. Lo siento, debería haberlo aclarado.

— HdM

Número de camarillas en gráficos aleatorios

Sé que , pero ¿cómo lo pruebo?E(Xk)=(nk)⋅p(k2)E(Xk)=(nk)⋅p(k2)E(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}

Cómo mostrar eso para :n→∞n→∞n\rightarrow\inftyE(Xlog2n)≥1E(Xlog2⁡n)≥1E(X_{\log_2n})\ge1

Sé que , pero ¿cómo lo pruebo? $E(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}$

Cómo mostrar eso para : $n\rightarrow\infty$ $E(X_{\log_2n})\ge1$