Idea común en la multiplicación de Karatsuba, Gauss y Strassen

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Las identidades utilizadas en los algoritmos de multiplicación por

Karatsuba (enteros)
Gauss (números complejos)
Strassen (matrices)

Parece muy relacionado. ¿Existe un marco abstracto general / generalización?

algorithms matrices

— sdcvvc
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Busque la desigualdad de suma asintótica de Schönhage.

— Yuval Filmus

¿De qué identidades estás hablando? ¿Se supone que debemos leer los tres artículos para responder? Agregue la información relevante a su pregunta.

— Raphael

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@Raphael: las identidades que son la base de los algoritmos, que expresan 4 multiplicaciones numéricas con 3 multiplicaciones y 8 multiplicaciones matriciales con 7.

— sdcvvc

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El marco clásico es el de algoritmos bilineales y descomposiciones de rango tensorial; básicamente, construye el tensor de 3 vías asociado al mapa bilineal $f(A,B) = A \cdot B$ , en base a los coeficientes, luego busca una descomposición del mismo como la suma de los tensores de rango uno (es decir, los de la forma $T_{i,j,k} = u_i v_j w_k$ ). Encontrará esto explicado con más detalle, por ejemplo, en este artículo de Bläser , o en el libro de Bürgisser, Clausen, Shokrollahi, Algebraic Complexity Theory.

Según tengo entendido, la reformulación en términos de representaciones grupales que Suresh menciona en su respuesta es posterior, y me parece menos adecuada para un primer acercamiento al tema (pero, por supuesto, eso podría ser un sesgo de mi parte )

— Federico Poloni
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Esta es la respuesta correcta. Un aspecto que falta es la tensorización / divide y vencerás, que está detrás del algoritmo de Karatsuba y los algoritmos de multiplicación de matriz rápida (cuadrada).

— Yuval Filmus

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Una respuesta parcial a su pregunta es el enfoque teórico grupal desarrollado por primera vez por Cohn y Umans y desarrollado por Cohn, Kleinberg, Szegedy y Umans. Puede "especie de" capturar Strassen y Coppersmith-Winograd para la multiplicación de matrices.

— Suresh
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Esto realmente pierde el punto. El enfoque teórico grupal es en realidad solo una forma de encontrar tales identidades en primer lugar.

— Yuval Filmus