Cómo discutir los coeficientes en notación big-O

¿Qué notación se usa para discutir los coeficientes de las funciones en notación big-O?

Tengo dos funciones:

• $f(x) = 7x^2 + 4x +2$
• $g(x) = 3x^2 + 5x +4$

Obviamente, ambas funciones son , de hecho , pero eso no permite una comparación más allá de eso. ¿Cómo discuto los coeficientes 7 y 3. La reducción del coeficiente a 3 no cambia la complejidad asintótica, pero aún hace una diferencia significativa en el tiempo de ejecución / uso de la memoria.Θ ( x 2$O(x^2)$$\Theta(x^2)$

¿Es incorrecto decir que es y es ? ¿Hay alguna otra notación que tenga en cuenta los coeficientes? ¿O cuál sería la mejor manera de discutir esto?O ( 7 x 2 ) g O ( 3 x 2$f$$O(7x^2)$$g$$O(3x^2)$

Las notaciones Big- y big- ocultan los coeficientes del término principal, por lo que si tiene dos funciones que son ambas no puede comparar sus valores absolutos sin mirar las funciones mismas. No está mal per se decir que , pero no es informativo porque también es cierto (y, de hecho, es para cualquier constante positiva ).Θ Θ ( n 2 ) 7 x 2 + 4 x + 2 = Θ ( 7 x 2 ) 7 x 2 + 4 x + 2 = Θ ( 3 x 2 ) Θ ( k x 2 ) $O$$\Theta$$\Theta(n^2)$$7x^2 + 4x + 2 = \Theta(7x^2)$$7x^2 + 4x + 2 = \Theta(3x^2)$$\Theta(kx^2)$$k$

Hay otras anotaciones que quizás quieras usar en su lugar. Por ejemplo, la notación es una afirmación mucho más fuerte que big- :$\sim$$\Theta$

$\qquad \displaystyle f(x) \sim g(x) \iff \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$

Por ejemplo, , pero la afirmación sería falsa. Puede pensar en la notación tilde como notación que conserva los coeficientes principales, que parece ser lo que está buscando si le importa el coeficiente principal del término de crecimiento dominante.$7x^2 + 4x + 2 \sim 7x^2$$7x^2 + 4x + 2 \sim 3x^2$$\Theta$

La tilde es un enfoque. Si quieres seguir con , podrías decir$O$

$\qquad f(x) = 7x^2 + O(x)$ y

$\qquad g(x) = 3x^2 + O(x)$ .