¿Cuál es una fórmula para el número de cadenas sin repeticiones?

Quiero contar el número de cadenas sobre un alfabeto finito , que no contiene repeticiones, y con eso me refiero a cualquier subcadena de ,, no hay una copia disjunta de en . Por ejemplo, deje . Entonces es una de las cadenas que quiero contar, ya que para la subcadena , no hay copias disjuntas. Sin embargo, contiene tal repetición.$s$$A$$t$$s$$1< |t| < |s|$$t$$s$$A=\{a,b\}$$aaa$ $aa$$abab$

Si alguien ya ha descubierto una fórmula útil, por favor enlace. De lo contrario, me referiré a esta publicación en cualquier artículo que escriba, si uso la respuesta de alguien.

Aquí hay otro ejemplo. Intentemos construir una cadena larga sobre , que no contenga repeticiones:$\{a,b\}$

aaa (no puede ser a)
   aaab (a o b)
     aaabbb (no puede ser b)
       aaabbba (no puede ser b o a)
   aaaba (no puede ser a o b)

Si construimos un árbol, podríamos contar el número de nodos, pero quiero una fórmula.

Editar: Bueno, no es tan desalentador como pensé por primera vez si convertimos esto en un problema de elección de contenedores. Un conjunto de cadenas de longitud k con al menos una repetición es igual al conjunto que es la unión de todas las permutaciones del producto cartesiano: donde es la repetición requerida. No sé si eso es útil, pero sonó profesional :) De todos modos, que sean | A | bins, elija cualquiera de los dos (incluso si es el mismo) para ser la repetición, luego elija más y multiplique (los primeros 4 ya están elegidos, ¿ve?). Ahora solo necesito encontrar esa fórmula a partir de matemáticas discretas.$A \times A \times \cdots\times A \text{(k-4 times)} \times R \times R$$R$$k-4$

^{Esto responde a la pregunta después del número de palabras libres de repetición por tamaño, lo que implica que incluso existe la cantidad deseada.}

Definición: Llame repetición si y solo si no contiene un factor con e .$w \in \Sigma$ $xyx$$x \in \Sigma^{\geq 2}$$y \in \Sigma^*$

Reclamación: Para un alfabeto finito dado con , no hay palabras sin repetición de longitud mayor que .$\Sigma$$|\Sigma| = k$$2k^2 + 1$

Idea de prueba: según el principio del agujero de paloma. Tome una palabra de longitud (o una palabra más larga y considere su prefijo de esta longitud), es decir . Suponga que tiene repetición; eso significa que para todo (de lo contrario, tuvimos una repetición). Por lo tanto, hay muchos pares de símbolos; esto contradice . Entonces no está libre de repeticiones. $w$$2k^2 + 2$$w = a_0a_0' \dots a_{k^2}a_{k^2}'$$w$$a_ia_i' \neq a_ja_j'$$i \neq j$$k^2 + 1$$|\Sigma^2| = k^2$$w$$\square$

Tenga en cuenta que esta es una prueba aproximada: los factores pueden crear una repetición incluso antes.$a_i'a_{i+1}$

Notación:

• $\Sigma^{\geq k} = \bigcup_{i=k}^\infty \Sigma^i = \Sigma^* \setminus \bigcup_{i=0}^{k-1} \Sigma^i$
• "factor" = "subword" = "subcadena"