¿Es el problema del universo para autómatas de un contador con tamaño de alfabeto restringido indecidible?

Considere el siguiente problema del universo .

El problema del universo. Dado un conjunto finito$\Sigma$ para una clase de idiomas y un autómata que acepta el idioma $L$, decidir si $L=\Sigma^*$.

En [1], se afirma y prueba que el problema del universo es indecidible para una clase particular de autómatas de un contador. Este resultado sigue para la clase de todos los autómatas de un contador no deterministas. Me pregunto si se sabe si este problema aún es indecidible cuando restringimos el tamaño del alfabeto de entrada del autómata.

Creo que con el tamaño del alfabeto 1 el problema se vuelve decidible, pero ¿qué pasa con el tamaño 2? Y si eso resulta ser decidible, ¿cuál es el valor más pequeño de$n \in \mathbb{N}$ tal que el problema es indecidible.

Creo que es probable que se conozca la respuesta a esta pregunta, pero tengo problemas para encontrar una respuesta. Si ya se conoce, agradecería una referencia.

[1] Ibarra, OH (1979). Máquinas de un contador restringidas con problemas de universo indecidibles. Teoría de sistemas matemáticos, 13 (1), 181-186

Debe ser indecidible para un alfabeto con dos símbolos. Es posible codificar cualquier alfabeto en dos letras, por ejemplo, asignar 16 símbolos a la longitud de 4 cadenas binarias$aaaa, aaab, \dots, bbbb$. Entonces igualdad a$\Sigma^*$es equivalente a la igualdad de todos los códigos posibles para cadenas. En el ejemplo de 16 letras, esto significa igualdad para todas las cadenas de un múltiplo de cuatro letras. Claramente eso no es universalidad. Eso se obtiene agregando esas cadenas binarias que no están codificando. Ese es un conjunto regular y puede ser generado por un autómata de un contador.

La misma explicación, con $\LaTeX$para quienes lo aprecian Suponga que la universalidad es indecidible para$\Sigma$. Dejar$h: \Sigma^* \to \{0,1\}^*$ser un morfismo inyectivo Ahora$L = \Sigma^*$ iff $h(L) = h(\Sigma^*)$. Esto a su vez es equivalente a$h(L) \cup R = \{0,1\}^*$ dónde $R$ es el lenguaje regular (fijo) $\{0,1\}^* - h(\Sigma^*)$. Por lo tanto, no podemos decidir si el idioma binario del contador $h(L) \cup R$es universal Tenga en cuenta que el idioma es un contador ya que la familia está cerrada por morfismos y unión (con idiomas regulares).

Como usted dice "Creo que", también puedo confirmar que la pregunta es decidible para un alfabeto de una letra. Es decidible para autómatas pushdown (por lo tanto, lenguajes libres de contexto) ya que una letra CFL es (efectivamente) equivalente a los lenguajes regulares.