Encontrar caminos más cortos y más largos entre dos vértices en un DAG

Dado un DAG no ponderado (gráfico acíclico dirigido) y dos vértices s y t , ¿es posible encontrar el camino más corto y más largo de s a t en tiempo polinómico? Las longitudes de camino se miden por el número de aristas.$D = (V,A)$$s$$t$$s$$t$

Estoy interesado en encontrar el rango de posibles longitudes de ruta en tiempo polinómico.

Ps., Esta pregunta es un duplicado de la pregunta StackOverflow La ruta más larga en un DAG .

Para el problema de la ruta más corta, si no nos interesan los pesos, entonces la búsqueda de amplitud es una forma segura. De lo contrario, el algoritmo de Dijkstra funciona siempre que no haya bordes negativos.

Para el camino más largo, siempre puede hacer Bellman-Ford en el gráfico con todos los pesos de borde negados. Recuerde que Bellman-Ford funciona siempre que no haya ciclos de peso negativos y, por lo tanto, funciona con cualquier peso en un DAG.

Deje y m = | E ( G ) | . Deje w ( a → b ) denotar el peso del borde ( a → b ) . Suponga que desea encontrar el costo de ruta mínimo y máximo de s a t .$n = |V(G)|$$m = |E(G)|$$w(a \to b)$$(a \to b)$$s$$t$

A partir de , realice lo siguiente:$b := t$

1. Si ya se visitó , devuelva los valores min ( b ) y max ( b ) ya calculados . De lo contrario, marque b como visitado.$b$$\min(b)$$\max(b)$$b$

2. Determine y registre y max ( b ) de la siguiente manera.$\min(b)$$\max(b)$

   • Si , almacene min ( s ) : = max ( s ) : = 0 .$b = s$$\min(s) := \max(s) := 0$
   • Else establece $$\begin{align*}\min(b) &:= \min_{a \to b} \Bigl[ w(a \to b) + \min(a) \Bigr] \\ \max(b) &:= \max_{a \to b} \Bigl[ w(a \to b) + \max(a) \Bigr]\end{align*}$$ $\min(a) = \max(a) = \mathrm{inaccessible}$$b$$\min(b) := \max(b) := \mathrm{inaccessible}$

$O(m)$ , descuidando el tiempo requerido para inicializar todas las variables de vértice.