Dejar B ( n ) ser del tamaño del árbol más grande, donde las aridades de cada camino desde la raíz hasta la hoja se suman a norte.
Si la raíz de tal árbol tiene aridad k, luego los caminos para cada una de las k los subárboles deben sumar hasta n - k. Como los subárboles deben ser óptimos, el árbol tiene tamaño1 + k ⋅ B ( n - k ).
Una fórmula para B ( n ) simplemente maximiza esa expresión sobre k, utilizando los valores anteriores B ( n - 1 ) , B ( n - 2 ) , ….
Traté de hacer esto a mano y encontré (con la ayuda de @Sudix, gracias) 1 , 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 16 , 23 , 34 , …. Esto parece ser A239288 en Sloanes Online Encyclopedia of Integer Sequences. La recursividad dada allí es similar, pero no exactamente la misma.
La explicación de la secuencia allí es: "Suma máxima de x0 + x0 * x1 + ... + x0 * x1 * ... * xk sobre todas las composiciones x0 + ... + xk = n". De hecho, esa es la misma secuencia: si la secuencia de aridades a lo largo del camino desde la raíz es x0, x1, ..., xk, estas deberían sumar n, y el número de nodos es la fórmula dada.
Otro comentario en Sloane es interesante: "Para n> = 8 la solución se vuelve cíclica: a (3n + k) = 3 + 3a (3n - 3 + k)". Esto parece sugerir que para valores mayores de 24 la raíz del árbol siempre tiene tres hijos.