Número de ciclos hamiltonianos en un gráfico de Sierpiński

Soy nuevo en este foro y solo soy un físico que hace esto para mantener su cerebro en forma, así que por favor muestre gracia si no uso el lenguaje más elegante. También deje un comentario, si cree que otras etiquetas serían más apropiadas.

Estoy tratando de resolver este problema para el cual necesito para calcular el número de ciclos hamiltonianos en el º orden de Sierpinski-gráfico . (Consulte también el enlace anterior para ver la definición y las imágenes de los gráficos de Sierpinski)n S $C(n)$$n$$S_n$

He encontrado , pero debo haber estropeado algo, porque mi solución no coincide con el valor dado . Mi argumentación consiste en pensamientos muy básicos, y no puedo encontrar el error. Cualquier ayuda es muy apreciada. Incluso si parece largo, los pensamientos se vuelven triviales si miras los gráficos mientras los sigues .C ( 5 ) = $C(n)$$C(5) = 71328803586048$

(a) En un gráfico dado llamar a las esquinas exteriores . Luego defino las siguientes cantidades: A , B , $S_n$$A,B,C$

el número de caminos hamiltonianos de A a C .$N(n) :=$$A$$C$

el número de trayectorias deAaCque visitan cada nodo una vez exceptoB.$\bar{N}(n) :=$$A$$C$$B$

También llamaré a tales rutas - o ˉ N -type rutas en lo siguiente.$N$$\bar{N}$

(b) Es fácil ver que .$N(n)=\bar{N}(n)$

La razón es la siguiente: considere una ruta de tipo Desde A este camino es de la forma ( A , . . . , X 1 , B , X 2 , . . . , C ) . Al reemplazar el segmento ( X 1 , B , X 2 ) por ( X 1 , X 2 ) obtenemos una ruta de tipo ˉ N. Esta operación asigna de forma única todos los $N$$A$$(A,...,X_1,B,X_2,...,C)$$(X_1,B,X_2)$$(X_1,X_2)$$\bar{N}$$N$rutas de tipo a rutas de tipo.$\bar{N}$

(c) Derivamos la recursividad .$N(n+1)=2N(n)^3$

Considere una ruta de tipo de A a B y denote los subtriángulos en las esquinas exteriores A , B , C por T A , T B , T C , respectivamente. Está claro que la N trayectoria de tipo visitará cada subtriangulo exactamente una vez a partir de T A lo largo de T B a T C . Ahora considere el nodo Z en el que los subtriángulos T A y T $N$$A$$B$$A,B,C$$T_A,T_B,T_C$$N$$T_A$$T_B$$T_C$$Z$$T_A$$T_C$toque. Hay dos posibilidades, cuando este punto es visitado por la ruta de acceso, ya sea (i) antes de salir de o (ii) después de entrar en T C . En estos casos, los tres subpatas dentro de T A , T B , T C son de los tipos (i) N , N , ˉ N o (ii) ˉ N , N , N , respectivamente. Con esto en mente, podemos contar$T_A$$T_C$$T_A,T_B,T_C$ $N,N,\bar{N}$ $\bar{N},N,N$

y con(b)llegamos a la recursión superior.$N(n+1)=N(n)N(n)\bar{N}(n)+\bar{N}(n)N(n)N(n)$

(d) Resolvemos la recursividad (c) con y obtenemos N ( n ) = 2 3 0 + 3 1 + . . . + 3 n - 2 .$N(1)=1$$N(n)=2^{3^0+3^1+...+3^{n-2}}$

(e) Considere un ciclo hamiltoniano en el gráfico . Como cada uno de los tres sub-triángulos está conectado a los otros solo a través de dos nodos, está claro que el ciclo ingresará a cada sub-triángulo exactamente una vez a través de un nodo de conexión, luego lo "llenará" y finalmente lo dejará a través del otro nodo de conexión. Por lo tanto, el ciclo hamiltoniano en S n consiste en tres subpatas de tipo N en los subtriángulos que tienen la estructura de S n - 1 . Podemos concluir por el número de ciclos hamiltonianos$S_n$$S_n$$N$$S_{n-1}$

.$C(n) = N(n-1)^3$

Sin embargo, sigue para $n=5$

$C(5) = N(4)^3 = 8192^3=549755813888 \neq 71328803586048$

donde este último debe obtenerse de acuerdo con la página del problema (enlace de arriba).

Gracias de nuevo por cualquier ayuda o comentario.

¡Buena idea! El problema parece estar en el paso . Reemplazar ( X 1 , B , X 2 ) en una ruta N por ( X 1 , X 2 ) da una ruta ˉ N , pero no todas las rutas ˉ N contendrán ( X 1 , X 2 ) . Entonces esto no es una biyección. Esto solo dice N ( n ) ≤ ˉ N ( n ) .$(b)$$(X_1,B,X_2)$$N$$(X_1,X_2)$$\bar{N}$$\bar{N}$$(X_1,X_2)$$N(n) \leq \bar{N}(n)$

O, de hecho, puede mostrar que , lo que resulta en N ( n + 1 ) = 3 N 3 .$\bar{N}(n) = 3N(n)/2$$N(n+1) = 3N^3$