Necesita una fuente confiable para la fórmula de la forma del horizonte de la Tierra

Lo que estoy pidiendo

Insisto en que no estoy pidiendo la fórmula . Sé la fórmula y cómo obtenerla. Varias versiones diferentes de la misma se reproducen cerca del final de la publicación. De hecho, alguien más no solo lo ha derivado, sino que también ha presentado una de las derivaciones aquí .

Lo que necesito es una fuente confiable de la fórmula para que, por ejemplo, uno pueda ponerla en Wikipedia sin violar su prohibición de informar sobre investigaciones originales. [La gente realmente lo ha intentado ... Pero el artículo relevante tiene un editor muy concienzudo que eliminó la sección por ser una investigación original ... y, bueno, desafortunadamente, el editor es correcto, por lo que no tiene mucho sentido intentarlo para combatirlo]

La razón por la que estoy publicando en Computer Graphics stackexchange

Dado que alguien aquí podría haber modelado la forma en que la Tierra se ve en órbita, tal vez él o ella podría saber si esta fórmula (o, más probablemente, una generalización de la misma) se publica en algún libro, revista, actas de conferencias o notas de clase etc.

He hecho el "due google"

Por favor, comprenda que no le estoy pidiendo a nadie que busque la respuesta en mi nombre. Ya he buscado mucho en Google, y solo estoy publicando aquí como último recurso. Mi (exagerada) esperanza es que alguien aquí simplemente conozca una referencia de inmediato; si no ... bueno, espero que al menos hayan disfrutado de la bonita imagen a continuación (si lo digo yo mismo, con plena conciencia de que estoy hablando con personas interesadas en gráficos por computadora de todas las cosas) antes de pasar a una mejor y más grande cosas.

Dos fuentes que se acercan

1. DK Lynch, "Discernir visualmente la curvatura de la Tierra", Applied Optics vol. 47, H39 (2008). Está disponible gratuitamente aquí . Desafortunadamente, en lugar de hacerlo de la manera correcta (que no es tan difícil), el autor optó por un truco, que (a) no entiendo completamente, y (b) que no está de acuerdo con lo que sé que es La fórmula correcta.

2. R. Hartley y A. Zisserman, Multiple View Geometry in Computer Vision, 2ª ed. (Cambridge University Press, Cambridge, Reino Unido, 2004). En sec. 8.3, "Acción de una cámara proyectiva en cuadrics", leemos :

Supongamos que el cuádruple es una esfera, entonces el cono de rayos entre el centro de la cámara y el cuádruple es circular a la derecha, es decir, el generador de contornos es un círculo, con el plano del círculo ortogonal a la línea que une la cámara y los centros de la esfera. Esto se puede ver a partir de la simetría rotacional de la geometría sobre esta línea. La imagen de la esfera se obtiene intersectando el cono con el plano de la imagen. Está claro que esta es una sección cónica clásica, por lo que el contorno aparente de una esfera es cónica.

En principio, esto sería exactamente lo que se necesita, si solo se incluyera un poco más de información, al menos una expresión de la excentricidad de la cónica en función de la distancia a la esfera y el radio de la esfera (en el caso cuando el plano de la imagen es perpendicular a una generatriz del cono, como es el caso cuando la cámara estenopeica se dirige a un punto en el horizonte).

Detalles sobre la fórmula para la que necesito una referencia académica

Asumimos una Tierra perfectamente esférica, perfectamente lisa, sin atmósfera. Apuntamos una cámara estenopeica idealizada hacia el horizonte y, usando una proyección central directa, calculamos la forma de la imagen del horizonte en la parte posterior de la cámara (es decir, la forma que tendrá en la película --- el "plano de la película") . Aquí hay un gráfico (hecho en asíntota , para aquellos interesados) que debería aclarar esto:

Como vimos anteriormente, la imagen del horizonte es una porción de una sección cónica. Sea la excentricidad de la cónica; la derivación que mencioné anteriormente usa un parámetro k , que es solo la excentricidad inversa: k = $\varepsilon$$k$ . La excentricidad misma se da como ε = 1 / $k=1/\varepsilon$ , dondeϵ=h/Res la relación de la altitudhdel agujero por encima de la superficie de la Tierra y el radioR dela Tierra. [En lugar de usarϵ, que es la relación de laaltitudaR, puede ser útil usarη, la relación dela distancia del agujero de alfiler al centro de la Tierra,h+R, al radio de la Tierra:η=(R+h)/R=$\varepsilon=1/\sqrt{\epsilon(2+\epsilon)}$$\epsilon=h/R$$h$$R$$\epsilon$$R$$\eta$$h+R$ . En términos de η , tenemos ε = 1 / $\eta=(R+h)/R=1+\epsilon$$\eta$ ]$\varepsilon=1/\sqrt{\eta^{2}-1}$

La distancia desde el agujero de alfiler (punto en el gráfico) hasta el plano de la película se toma como una unidad de longitud.$P$

El eje en el plano de la película se elige para que sea paralelo a la línea que une el centro de la Tierra C (no se muestra en la imagen) y el punto en el horizonte (etiquetado como V en la imagen) en el que se entrena la cámara. Esta elección está bien definida porque la línea C V debe ser paralela al plano de la película. La razón de esto es que tanto C V como el plano de la película son perpendiculares a la línea de visión P V (la línea que une P y V ). Y C V , y 2. P V es perpendicular al plano de la película porque la cámara está entrenada en $y$$C$$V$$CV$$CV$$PV$$P$$V$ eso es porque 1. la línea es tangente a la Tierra en V , por lo tanto perpendicular a$PV$$V$$CV$$PV$$V$. La $x$ eje es, por supuesto perpendicular a la eje y se encuentra en el plano de la película, y el origen se escoge como la proyección del punto V .$y$$V$

Con estas definiciones fuera del camino, estamos listos para escribir una representación de la sección cónica que es la imagen del horizonte de la Tierra. Esto se puede escribir de muchas maneras, algunas de las cuales se dan a continuación. Lo que necesito es una referencia acreditada para cualquiera de estas fórmulas, o para una fórmula equivalente a ellas.

1. La fórmula explícita dada en la derivación mencionada anteriormente

La derivación que mencioné anteriormente da esto como la versión final:

$[\,y\,(1/\varepsilon-\varepsilon)-1\,]^{2}+x^{2}(1/\varepsilon^{2}-1)=1.$

Representemos esto en un par de formas adicionales.

2. Expresión en términos de la ecuación canónica de una sección cónica.

En este caso, la ecuación toma la siguiente forma :

,$x^2=2\mu y-(1-\varepsilon^{2}) y^2$

donde, en nuestro caso, .$\mu=\varepsilon$

La ventaja de la forma canónica es que puede tratar todas las cónicas en igualdad de condiciones, incluido en particular el caso de la parábola, . En la formulación `` estándar '' (ver más abajo), el caso de la parábola solo puede tratarse tomando el límite ε → 1 .$\varepsilon=1$$\varepsilon\to 1$

Detalles: la fórmula anterior se cumple en el caso de un cono circular recto, cuyos lados tienen un ángulo de , se intersectan --- a una distancia d del vértice del cono --- por un plano en un ángulo ω relativo al eje del cono. (Para aclarar: d es la distancia desde el vértice del cono hasta el punto en la elipse que es el más cercano al vértice del cono; ese punto siempre es uno de los extremos del eje mayor de la elipse). En este caso general, la excentricidad se da como ε = cos ω / cos θ , mientras que μ = d ( ε - cos |$2\theta$$d$$\omega$$d$$\varepsilon=\cos \omega/\cos \theta$ .$\mu=d(\varepsilon-\cos|\omega+\theta|)$

En términos del gráfico anterior: es la distancia desde P hasta el plano de la película (es decir, la distancia a lo largo de la línea roja punteada); θ es el ángulo entre la línea roja punteada y el eje del cono (que es la línea que une P y el centro de la Tierra --- la extensión de la línea negra etiquetada h en el gráfico); el ángulo ω es el ángulo entre el eje del cono y el plano de la película.$d$$P$$\theta$$P$$h$$\omega$

$\omega+\theta=\pi/2$$d=1$$\mu=\varepsilon$

3. Expresión en términos de la `` forma estándar '' de una sección cónica

Este formulario es quizás el más familiar:

$\frac{(x-x_{0})^{2}}{p^2}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{q^2}=1$ .

Está relacionado con los parámetros que entran en la ecuación canónica (ver 2., arriba) de la siguiente manera:

$x_{0}=0$

$y_{0}=q=\frac{\mu}{1-\varepsilon^{2}}$$\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon^{2}}$$y_{0}=q$

$p=q\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}=\frac{\mu}{\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}}$$\frac{\varepsilon}{\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}}$

$\varepsilon=1$$\varepsilon\to 1$ .

4. Expresión en términos de una curva paramétrica.

$x=\frac{(\epsilon+1) \cos (\alpha )}{\sin (\alpha )+\epsilon(\epsilon+2)}$

$y=\frac{\sqrt{\epsilon (\epsilon+2)} (\sin (\alpha )-1)}{\sin (\alpha )+\epsilon (\epsilon+2)},$

$\alpha$$\alpha=\pi/2$$V$ en la imagen de arriba (es decir, al punto en el que se entrena la cámara estenopeica).

Para saber cómo se pueden usar estas fórmulas, vea esto .

En conclusión...

¿Alguien ha visto las fórmulas anteriores en alguna fuente confiable, posiblemente en el contexto de modelar cómo se ve la Tierra desde el espacio? Si es así, ¿podría decirme cuál era esta fuente?

¡Gracias!

La curva que está buscando es solo la intersección de un plano (la parte posterior de la cámara) y un cono circular derecho. Esta no es realmente una pregunta sobre la tierra, o las vistas de los planetas desde el espacio; es simplemente una simple geometría de coordenadas 3D. Para encontrar una referencia, recomendaría buscar "intersección de un plano y un cono" o "sección plana de un cono", o "sección plana de cuádruple", algo así.

Espero que pueda encontrar las fórmulas (y derivaciones) relevantes en cualquier texto estándar en geometría de coordenadas 3D. Algunos lugares probables son:

• Salmón: un tratado sobre la geometría analítica de tres dimensiones
• Somerville - Geometría analítica de tres dimensiones
• Snyder y Sisam - Geometría analítica del espacio

Todos estos son libros bastante viejos, y puede que tengas problemas para encontrarlos.

También puede intentar preguntar en Math.StackExchange.

Llamar a la derivación "investigación original" me parece absurdo. Es un problema de tarea de secundaria en geometría analítica.