Enlaces relevantes aquí y aquí , pero aquí está la versión corta:

Tiene una entrada de dos enteros ay bentre infinito negativo e infinito (aunque si es necesario, puedo restringir el rango, pero la función aún debe aceptar entradas negativas).

Definición del símbolo de Kronecker

Debe devolver el símbolo de Kronecker (a|b)para las entradas ay bdónde

(a|b) = (a|p_1)^e_1 * (a|p_2)^e_2 * ... * (a|p_n)^e_n

donde b = p_1^e_1 * p_2^e_2 * ... * p_n^e_n, y p_iy e_ison los primos y exponentes en la factorización prima de b.

Para una prima impar p, (a|p)=a^((p-1)/2) (mod p)como se define aquí .

para b == 2,(n|2)={0 for n even; 1 for n odd, n=+/-1 (mod 8); -1 for n odd, n=+/-3 (mod 8)

para b == -1,(n|-1)={-1 for n<0; 1 for n>0

Si a >= b, (a|b) == (z|b)donde z == a % b. Por esta propiedad, y como se explica aquí y aquí , aes un residuo cuadrático de bif zis, aunque a >= b.

(-1|b)= 1si b == 0,1,2 (mod 4)y -1si b == 3 (mod 4). (0|b)es 0a excepción de (0|1)lo que es 1, porque (a|1)está siempre 1y para el negativo a, (-a|b) == (-1|b) * (a|b).

La salida del símbolo de Kronecker es siempre -1, 0 or 1, donde la salida es 0si ay btiene factores comunes. Si bes un primo impar, (a|b) == 1si aes un mod de residuo cuadráticob , y -1si lo es, no es un residuo cuadrático.

Reglas

• Su código debe ser un programa o una función.

• Las entradas deben estar en el orden a b.

• La salida debe ser -1, 0o 1.

• Este es el código de golf, por lo que su código no tiene que ser eficiente, solo corto.

• No hay elementos integrados que calculen directamente el Kronecker o los símbolos relacionados de Jacobi y Legendre. Otros elementos integrados (para la factorización prima, por ejemplo) son juegos justos.

Ejemplos

>>> kronecker(1, 5)
1
>>> kronecker(3, 8)
-1
>>> kronecker(15, 22)
1
>>> kronecker(21, 7)
0
>>> kronecker(5, 31)
1
>>> kronecker(31, 5)
1
>>> kronecker(7, 19)
1
>>> kronecker(19, 7)
-1
>>> kronecker(323, 455625)
1
>>> kronecker(0, 12)
0
>>> kronecker(0, 1)
1
>>> kronecker(12, 0)
0
>>> kronecker(1, 0)
1
>>> kronecker(-1, 5)
1
>>> kronecker(1, -5)
1
>>> kronecker(-1, -5)
-1
>>> kronecker(6, 7)
-1
>>> kronecker(-1, -7)
1
>>> kronecker(-6, -7)
-1

Esta es una función complicada, así que avíseme si algo no está claro.

CJam (70 bytes)

{_g\zmf+f{:P2+"W>2*(
z1=
;1
7&4-z[0W0X0]=
P%P+P(2/#P%_1>P*-"N/<W=~}:*}

Demostración en línea (casos de prueba generados con Mathematica).

Disección

{               e# Anonymous function. Stack: a b
  _g\zmf+       e# Factorise b, with special treatment for negatives
                e# CJam also gives special treatment to 0 and 1
                e# Stack: e.g. a [-1 2 2 5]; or a [-1 1]; or a [0 0]; or a [1 2 2 5]
  f{            e# For each "prime" factor P, find (a|P)
    :P2+        e# Extract code for P from an array formed by splitting a string
    "W>2*(      e#   a -> (a|-1)
z1=             e#   a -> (a|0)
;1              e#   a -> (a|1)
7&4-z[0W0X0]=   e#   a -> (a|2)
P%P+P(2/#P%_1>P*-" e# a -> (a|P) for odd prime P
    N/<W=~      e# Split string and select appropriate element
  }
  :*            e# Multiply the components together
}

Encontré varias formas de evaluar (a|2)el mismo recuento de caracteres, y he elegido usar el que tenga la presentación más clara.

integer array <W= IMO es una forma bastante elegante de hacer retrocesos: si el entero es mayor que la longitud de la matriz, seleccionamos el último elemento.

Otros comentarios

Es decepcionante que, por extraño que sea, pel estilo directo de Fermat (a|p)sea ​​tan corto, porque hay una forma muy golfística de encontrar (a|n)un extraño positivo nque quería usar. La base es el lema de Zolotarev:

Si pes un primo impar y aes un coprimo entero para pentonces, el símbolo de Legendre (a|p)es el signo de la permutaciónx -> ax (mod p)

Esto fue fortalecido por Frobenius para

Si ay bson enteros impares positivos coprimos, entonces el símbolo de Jacobi (a|b)es el signo de la permutaciónx -> ax (mod b)

y por Lerch a

Si bes un entero impar positivo y aes un coprimo entero para bentonces, el símbolo de Jacobi (a|b)es el signo de la permutaciónx -> ax (mod b)

Ver Brunyate y Clark, Extendiendo el enfoque de Zolotarev-Frobenius a la reciprocidad cuadrática , The Ramanujan Journal 37.1 (2014): 25-50 para referencias.

Y puede fortalecerse fácilmente un paso más (aunque no he visto esto en la literatura) para

Si bes un entero impar positivo y aes un entero, entonces el símbolo de Jacobi (a|b)es el símbolo de Levi-Civita del mapa x -> ax (mod b).

Prueba: si aes coprime, bentonces usamos Zolotarev-Frobenius-Lerch; de lo contrario, el mapa no es una permutación, y el símbolo de Levi-Civita es el 0deseado.

Esto da el cálculo del símbolo de Jacobi

{_2m*{~>},@ff*\ff%::-:*g}

Pero el tratamiento especial requerido (a|-1)y (a|2)significa que no he encontrado una manera de calcular el símbolo de Kronecker que es más corto con este enfoque: es más corto factorizar y tratar los números primos individualmente.

Python 3, 747 369 335 bytes

Como respuesta de ejemplo, solo un poco de golf, y para darle una idea de cómo se verá una respuesta.

Y sí, los factores primos de factorización y codificación de longitud de ejecución se cifran desde Pyth con disculpas a isaacg .

from itertools import*
def k(d,r):
 if d<0:a=-d;m=1
 else:a=d;m=0
 if r==1:return 1
 p=1;w=r;n=2;f=[]
 while n*n<=w:
  while w%n<1:w//=n;f+=n,
  n+=1
 if w>1:f+=w,
 z=[[k,len(list(g))]for k,g in groupby(f)]
 for i,j in z:
  if i==2:p*=pow(-1,(a*a-1)//8)
  x=pow(a,(i-1)//2,i)
  if x>1:x-=i
  p*=x**j
 if m:p*=pow(-1,(r-1)//2)
 return p

Mathematica, 169 175 165 bytes

(1|-1)~k~0=_~k~1=1
_~k~0=0
a_~k~-1=If[a<0,-1,1]
a_~k~2=DirichletCharacter[8,2,a]
a_~k~p_/;PrimeQ@p=Mod[a^((p-1)/2),p,-1]
a_~k~b_:=1##&@@(a~k~#^#2&@@@FactorInteger@b)

LabVIEW, 44 Bytes Primitivas de LabVIEW

Como es simétrico, cambié las entradas si a era mayor que b.

Representa la fórmula real ahora

contando como siempre según

para el caso verdadero

Julia, 195 bytes

k(a,b)=b==0?a∈[1,-1]?1:0:b==1?1:b==2?iseven(a)?0:a%8∈[1,-1]?1:-1:b==-1?a<1?-1:1:isprime(b)&&b>2?a%b==0?0:a∈[i^2%b for i=0:b-1]?1:-1:k(a,sign(b))*prod(i->k(a,i)^factor(b)[i],keys(factor(b)))

Esta es una función recursiva kque acepta dos enteros y devuelve un entero.

Sin golf:

function k(a::Integer, b::Integer)
    if b == 0
        return a ∈ [1, -1] ? 1 : 0
    elseif b == 1
        return 1
    elseif b == 2
        return iseven(a) ? 0 : a % 8 ∈ [1, -1] ? 1 : -1
    elseif b == -1
        return a < 1 ? -1 : 1
    elseif isprime(b) && b > 2
        return a % b == 0 ? 0 : a ∈ [i^2 % b for i = 1:b-1] ? 1 : -1
    else
        p = factor(b)
        return k(a, sign(b)) * prod(i -> k(a, i)^p[i], keys(p))
    end
end

Haskell, 286 bytes

a#0|abs a==1=1|1<2=0
a#1=1
a#2|even a=0|mod a 8`elem`[1,7]=1|1<2=(-1)
a#b|b<0=a`div`abs a*a#(-b)|all((/=0).mod b)[2..b-1]=if elem n[0,1] then n else(-1)|1<2=product$map(a#)$f b where n=a^(div(b-1)2)`mod`b
f 1=[]
f n|n<0=(-1):f(-n)|1<2=let p=head$filter((==0).mod n)[2..n]in p:f(div n p)

Probablemente no esté completamente optimizado, pero es un esfuerzo valiente. El símbolo de Kronecker se define como la función infija a # b, es decir

*Main>323#455265 
1