Mathematica 18 17 caracteres
Elegí usar, como una medida de "mejor", el número de términos en una representación de fracción continua de π. Según este criterio, las mejores aproximaciones racionales de π son sus convergentes.
Hay 10 convergentes de π con un denominador menor a un millón. Esto es menor que los 167 términos solicitados, pero lo incluyo aquí porque puede ser de interés para otros.
Convergents[π, 10]
(* out *)
{3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, 104348/33215, 208341/66317,
312689/99532, 833719/265381, 1146408/364913}
Si realmente desea ver el denominador para el primer convergente, le costará 11 caracteres adicionales:
Convergents[π, 10] /. {3 -> "3/1"}
(* out *)
{"3/1", 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, 104348/33215,
208341/66317, 312689/99532, 833719/265381, 1146408/364913}
Para aquellos que estén interesados, lo siguiente muestra las relaciones entre los convergentes, los cocientes parciales y la expresión de fracción continua de los convergentes de π:
Table[ContinuedFraction[π, k], {k, 10}]
w[frac_] := Row[{Fold[(#1^-1 + #2) &, Last[#], Rest[Reverse[#]]] &[Text@Style[#, Blue, Bold, 14] & /@ ToString /@ ContinuedFraction[frac]]}];
w /@ FromContinuedFraction /@ ContinuedFraction /@ Convergents[π, 10]
Disculpe el formato inconsistente de las fracciones continuas.
"#{Math.PI}"
.