Introducción

Hoy nos ocuparemos de la ruina de los estudiantes de primer año de álgebra lineal: ¡definición de matriz! Aparentemente, esto aún no tiene un desafío, así que aquí vamos:

Entrada

• A Matriz simétrica en cualquier formato conveniente (por supuesto, también puede tomar la parte superior o inferior de la matriz)$n\times n$ $A$
• Opcionalmente: el tamaño de la matriz$n$

¿Qué hacer?

El desafío es simple: dada una matriz de valores reales Matriz decide si es positiva definida al generar un valor verdadero si es así y un valor falso si no.$n\times n$

Puede suponer que sus funciones integradas realmente funcionan con precisión y, por lo tanto, no tiene que tener en cuenta los problemas numéricos que podrían conducir a un comportamiento incorrecto si la estrategia / código "demostrablemente" debe producir el resultado correcto.

¿Quién gana?

Este es el código de golf , por lo que gana el código más corto en bytes (por idioma).

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¿Qué es una matriz positiva definida de todos modos?

Aparentemente, hay 6 formulaciones equivalentes de cuándo una matriz simétrica es positiva definida. Reproduciré los tres más fáciles y lo remitiré a Wikipedia para los más complejos.

• Si entonces es positivo-definido. Esto puede reformularse como: si para cada vector distinto de cero el producto de punto (estándar) de y es positivo, entonces es definitivo positivo.$\forall v\in\mathbb R^n\setminus \{0\}: v^T Av>0$$A$
  
  $v$$v$$Av$$A$
• Deje que sean los valores propios de , si ahora (eso es todo los valores propios son positivos), entonces es positivo-definido. Si no sabe cuáles son los valores propios, le sugiero que use su motor de búsqueda favorito para averiguarlo, porque la explicación (y las estrategias de cálculo necesarias) es demasiado larga para estar contenida en esta publicación.$\lambda_i\quad i\in\{1,\ldots,n\}$A ∀ i ∈ { 1 , ... , n } : λ i > 0 A$A$$\forall i\in\{1,\ldots,n\}:\lambda_i>0$$A$
  
• Si existe la descomposición de Cholesky de , es decir, existe una matriz triangular inferior de modo que entonces es positivo-definido. Tenga en cuenta que esto es equivalente a "falso" de retorno temprano si en algún momento el cálculo de la raíz durante el algoritmo falla debido a un argumento negativo.$A$$L$$LL^T=A$$A$

Ejemplos

Para una salida veraz

$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&4\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}5&2&-1\\2&1&-1\\-1&-1&3\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&-2&2\\-2&5&0\\2&0&30\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}7.15&2.45\\2.45&9.37\end{pmatrix}$$

Para salida falsey

(al menos un valor propio es 0 / semi-definido positivo)

$$\begin{pmatrix}3&-2&2\\-2&4&0\\2&0&2\end{pmatrix}$$

(los valores propios tienen signos diferentes / indefinidos)

$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

(todos los valores propios más pequeños que 0 / negativo definido)

$$\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$$

(todos los valores propios más pequeños que 0 / negativo definido)

$$\begin{pmatrix}-2&3&0\\3&-5&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$$

(todos los valores propios más pequeños que 0 / negativo definido)

$$\begin{pmatrix}-7.15&-2.45\\-2.45&-9.37\end{pmatrix}$$

(tres valores propios positivos, uno negativo / indefinido)

$$\begin{pmatrix}7.15&2.45&1.23&3.5\\2.45&9.37&2.71&3.14\\1.23&2.71&0&6.2\\3.5&3.14&6.2&0.56\end{pmatrix}$$

C, 108 bytes

-1 byte gracias a Logern
-3 bytes gracias a ceilingcat

f(M,n,i)double**M;{for(i=n*n;i--;)M[i/n][i%n]-=M[n][i%n]*M[i/n][n]/M[n][n];return M[n][n]>0&(!n||f(M,n-1));}

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Realiza la eliminación gaussiana y comprueba si todos los elementos diagonales son positivos (criterio de Sylvester). El argumento nes el tamaño de la matriz menos uno.

MATLAB / Octave , 19 17 12 bytes

@(A)eig(A)>0

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La función eig proporciona los valores propios en orden ascendente, por lo que si el primer valor propio es mayor que cero, los otros también lo son.

Jalea , 11 10 bytes

ṖṖ€$ƬÆḊṂ>0

Utiliza el criterio de Sylvester .

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Cómo funciona

ṖṖ€$ƬÆḊṂ>0  Main link. Argument: M (matrix)

   $Ƭ       Do the following until a fixed point is encountered.
Ṗ             Pop; remove the last row of the matrix.
 Ṗ€           Pop each; remove the last entry of each row.
     ÆḊ     Take the determinants of the resulting minors.
       Ṃ    Take the minimum.
        >0  Test if the least determinant is positive, i.e., if all determinants are.

R , 29 bytes

function(m)all(eigen(m)$va>0)

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Alternativa usando cholesky:

R , 34 33 bytes

function(m)is.array(try(chol(m)))

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-1 byte gracias a @Giuseppe

Haskell , 56 bytes

f((x:y):z)=x>0&&f[zipWith(-)v$map(u/x*)y|u:v<-z]
f[]=1>0

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Básicamente un puerto de respuesta de nwellnhof . Realiza la eliminación gaussiana y comprueba si los elementos en la diagonal principal son positivos.

Falla la primera salida falsey debido a errores de redondeo, pero teóricamente funcionaría con una precisión infinita. Gracias a la sugerencia de Curtis Bechtel , ahora los resultados son correctos.

Wolfram Language (Mathematica) , 20 bytes

0<Min@Eigenvalues@#&

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MATL , 4 bytes

Yv0>

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[3 -2 2; -2 4 0; 2 0 2]0$10^{-18}$

Mathematica, 29 28 bytes

AllTrue[Eigenvalues@#,#>0&]&

Definición 2.

Julia 1.0 , 28 bytes

using LinearAlgebra
isposdef

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Julia 0.6 , 8 bytes

isposdef

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MATL , 6 bytes

Es posible hacerlo utilizando incluso menos bytes, @Mr. ¡Xcoder logró encontrar una respuesta MATL de 5 bytes !

YvX<0>

Explicación

Yv     compute eigenvalues
  X<   take the minimum
    0> check whether it is greather than zero

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Arce , 33 bytes

(es decir, mis 2 centavos)

with(LinearAlgebra):
IsDefinite(A)

JavaScript (ES6),  99 95  88 bytes

El mismo método que la respuesta de nwellnhof . Devoluciones$0$ o $1$.

f=(m,n=0,R=m[n])=>R?f(m,n+1)&R[m.map((r,y)=>y<n&&R.map((v,x)=>r[x]-=v*r[n]/R[n])),n]>0:1

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