Hay demasiada variación en cómo las aplicaciones web implementan la autenticación de usuarios para responder esto. Algunos eliminarán las cookies que han creado; algunos destruirán las variables de "sesión" que están asociadas con su cuenta y su sesión actual de navegación ... otros simplemente lo redirigirán a una página de inicio de sesión.
Cuando construyo aplicaciones web con autenticación de usuario, el usuario generalmente está asociado con una cookie de sesión, es decir, una cookie que no se escribe en el disco pero que desaparece cuando se cierra el navegador. Entonces, en este caso, hacer clic en el enlace "cerrar sesión" y cerrar el navegador hace esencialmente lo mismo.
Dicho esto, es posible en algunas aplicaciones web que su inicio de sesión esté asociado con una cookie persistente, o su dirección IP, o lo que sea, y solo cerrar el navegador no lo desconectará. En tal caso, es concebible que alguien pueda seguirlo, volver a abrir el navegador e iniciar sesión como usted.
Dicho todo esto, diría que es una buena práctica cerrar sesión en una aplicación web, pero si lo olvida, en realidad no es un gran problema.