Respuestas:
firefoxescribe en el registro de la sesión;
en sistemas más antiguos (pre systemd) que están guardados, ~/.xsession-errorsasí que intente ejecutar:
grep firefox ~/.xsession-errors
en systemdconfiguraciones más recientes basadas en usted puede ver (como usuario) las entradas relevantes en el diario con:
journalctl -qb /usr/bin/firefox
Supongo que por "registro de firefox" te refieres a todos los archivos temporales creados por firefox, así que mira el directorio ~/.mozilla/firefox. Puede encontrar allí subdirectorios con caché, "Crash Reports", pero también muchos archivos de configuración (por ejemplo profiles.ini).