Respuestas:
@rob tiene razón. GNOME es técnicamente un proyecto oficial de GNU. Sin embargo, hay mucha historia interesante.
Es 1996. No hay entornos de escritorio. Los usuarios y administradores de sistemas ensamblan entornos a partir de una gran cantidad de programas. Diferentes gestores de ventanas, diferentes aplicaciones, tal vez un muelle. Hay dos kits de herramientas principales en el mercado: Qt y GTK +. Qt había existido por un tiempo y era un producto comercial de una compañía llamada Trolltech. GTK + también había existido durante bastante tiempo. Se asociaba libremente con la FSF, ya que originalmente se escribió para su uso en el GIMP. Hubo más kits de herramientas, como (por ejemplo) Motif, pero a los efectos de esta discusión, no nos importan.
El entorno de escritorio Kool, también conocido como KDE, se creó en octubre de ese año en respuesta al hecho de que no había un entorno de escritorio unificado para los sistemas UNIX. (El proyecto KDE rápidamente eliminó "Kool" en favor de una "K" indefinida. Era claramente una buena opción). El creador de KDE, Matthias Ettrich, eligió usar Qt para su nuevo escritorio. Este fue un problema importante para la comunidad de software libre. Significaba que para usar el increíble escritorio gratuito que Matthias había creado, tendrían que instalar un software propietario: Qt.
La FSF respondió no con uno sino con dos proyectos, ambos trabajando en paralelo por si uno no funcionaba. El primero fue un proyecto llamado Harmony. Harmony estaba destinado a ser un clon de software libre con licencia LGPL y compatible con API de Qt. La idea era que la comunidad conservaría KDE, simplemente reemplazando el bit propietario.
El proyecto Harmony nunca funcionó realmente. El desarrollo continuó durante aproximadamente 4 años antes de que Qt se volviera a licenciar en 2000 para ser un software completamente libre (como lo define la FSF), eliminando así la motivación original para Harmony. Debido a la renovación de la licencia y al éxito del segundo proyecto, Harmony fue abandonada.
Apuesto a que ya has adivinado cuál era el segundo proyecto. Fue GNOME.
He dado la historia de arriba. Ahora vamos a unir todo en un buen nudo.
Entonces, para responder a su pregunta: sí, existe una relación entre GNU y GNOME. GNOME es el entorno de escritorio oficial del proyecto GNU y, por lo tanto, es un proyecto oficial de GNU y una parte del sistema operativo GNU. Históricamente, fue creado por GNU en respuesta a la dependencia de KDE de Qt. De hecho, la G en GNOME significa GNU. El acrónimo completo se expande al entorno del modelo de objetos de red de GNU: esto se refiere a una tecnología que fue planeada pero nunca implementada, ya que el proyecto decidió que "no encajaba con la visión central de GNOME".
Dicho esto, GNOME es un gran proyecto ahora. GTK + es mantenido por la gente de GNOME hoy en día, por ejemplo, en lugar de ser un proyecto independiente. Es seguro decir que GNOME como entidad es independiente de GNU, a pesar de que están relacionadas histórica y técnicamente. GNOME tiene su propia infraestructura; su propia comunidad; sus propios procesos de gobierno.
Como nota al margen, esta es también la razón por la cual GNOME y KDE son rivales (amigables) hoy en día. Es porque en 1996, cuando se fundó KDE, GNOME se creó con el expreso propósito de competir directamente con KDE. Y esa rivalidad ha persistido hasta el presente.
Gnome es una parte oficial de la colección de software libre de GNU http://www.gnu.org/software/software.html