Cron se ejecuta en un entorno que no sabe nada sobre el administrador de pantalla ( $DISPLAY
no está configurado). Su ventana de terminal en la que ha estado probando tiene esto configurado. Si lo intentaste en una terminal "real", o sobre SSH, verías que se rompe.
Si solo tiene un servidor X ejecutándose, solo especificar la pantalla podría funcionar:
* * * * * DISPLAY=:0 firefox ...
Probablemente podría esforzarse más para determinar en qué pantalla se encuentra en lugar de asumir que es, :0
pero eso probablemente funcionará la mayor parte del tiempo.
Si solo necesita volver a cargar algo mucho, mire Tab Auto Reload o complementos similares de Firefox.