Comenzando con Oneiric, la versión de Thunderbird incluida con Ubuntu tiene un complemento incluido que maneja la integración en el menú de mensajes. Ese complemento llamado "Menú de mensajes e integración de Unitiy Launcher" ofrece algunas opciones adicionales en la pestaña General en la configuración de Thunderbird (no estoy seguro acerca de la redacción, ya que estoy traduciendo desde alemán aquí;)). Cerca de las opciones para reproducir un archivo de sonido cuando llega un nuevo correo y tal, puede decidir si la notificación del mensaje debe encenderse para los nuevos correos y si debe hacerlo para cada carpeta o solo para la bandeja de entrada. No conozco una solución para elegir un conjunto personalizado de carpetas, pero tal vez haya un complemento para hacerlo.
TL; DR
Edición> Preferencias> Cuando lleguen nuevos mensajes> casilla de verificación "Mostrar en el menú de mensajes"> cambie la radio de "Para mensajes en todas las carpetas" a "Solo para mensajes en mi carpeta Bandeja de entrada"