Esta respuesta resume las sugerencias dadas en los comentarios de @Ocaso y @Rinzwind.
Usé esto:
wget -r -nH -np --cut-dirs=1 --no-check-certificate -U Mozilla --user={uname}
--password={pwd} https://my-host/my-webdav-dir/my-dir-in-webdav
No es perfecto (descargué muchos 'index.html? C = M; O = D' y similares) pero por lo demás funcionó bien.
El "-r" se descarga de forma recursiva, siguiendo los enlaces.
El "-np" evita el ascenso a directorios principales (¡de lo contrario, descarga todo el sitio web!).
El "-nH" impide crear un directorio llamado "my-host" (que no quería).
El "--cut-dirs = 1" impide crear un directorio llamado "my-webdav-dir".
El "--no-check-certificate" se debe a que estoy usando un certificado autofirmado en el servidor webdav (también estoy obligando a https).
El "-U Mozilla" establece el agente de usuario en la solicitud http en "Mozilla" - mi servidor webdav en realidad no necesitaba esto, pero lo he incluido de todos modos.