Recomiendo este sitio web para buscar opciones de turismo en los Alpes:
http://www.alpenvereinaktiv.com/en/tours/
El sitio web permite buscar de todo, desde excursiones de un día hasta viajes de varios días de una cabaña a otra. La página de detalles de cada recorrido enumera los meses para los que se recomienda la caminata. Hay algunos que son buenos para mayo, como este: http://www.alpenvereinaktiv.com/en/tour/piz-bernina-4049m-ueber-biancograt/11637047/
Las descripciones suelen estar en alemán, por lo que Google Translate es tu amigo.
En cuanto a qué época del año están abiertas las cabañas, el Alpenverein alemán lo enumera en su sitio web para las cabañas que admiten: https://www.alpenverein.de/DAV-Services/Huettensuche/
También querrá consultar los sitios web de las cabañas, ya que generalmente se enumeran cuando abren durante el año.
En general, recomendaría Austria a Suiza para un recorrido alpino, ya que hay una selección más amplia de opciones. El pasado agosto pasé 4 días caminando en el Dachsteingebirge a las afueras de Salzburgo, lo cual fue impresionante. Eso incluyó quedarse en Simony Hut y Adamek Hut , y subir a la cima de Hoher Dachstein .