Dos respuestas dicen el tubo, pero como un londinense que hace un viaje similar regularmente, ruego que difiera :) La respuesta es: depende.
En tráfico ligero (antes de las 6 de la mañana), un taxi tomará unos 25 minutos para hacer este viaje ( Google está de acuerdo ). Lo mismo es cierto a altas horas de la noche (después de las 9 p.m.). También es más fácil llegar a la parada de taxis en Heathrow que a la estación de metro, desde casi todas las terminales, ahorrando hasta 5-10 minutos en algunos casos.
En otras ocasiones, es probable que el tubo sea la opción más rápida, ya que no tendrá que cambiar la línea Piccadilly. Llegar en el Heathrow Express es una opción, pero los cambios de tubo no son excelentes en este caso.
El taxi es, por supuesto, la opción más cara. Pero pediste tanto la forma más rápida como las opciones más baratas, que no se alinean entre sí :)