Legalmente hablando, necesita un pasaporte válido o documento de viaje equivalente para cruzar cualquier frontera de un estado Schengen, ya sea un borde interno o externo del área Schengen. No puedo encontrar una lista de documentos de viaje equivalentes para Francia, pero el de Italia solo enumera alternativas "exóticas": documentos para refugiados, para gente de mar, etc. (Los nacionales de un país de la UE y algunos otros solo necesitan una tarjeta de identidad )
En la práctica, las fronteras dentro del área de Schengen no están equipadas para controles sistemáticos y existe una alta probabilidad de que conduzca sin siquiera darse cuenta de que ha cruzado la frontera. Hay (o solía) controles ocasionales para el contrabando de drogas en el camino de los Países Bajos a Francia; Dudo que sea un problema si todo lo que puede mostrar es un permiso de conducir. Es mejor si tiene su permiso de residencia y una fotocopia de su pasaporte; con estos documentos, sería excepcional meterse en problemas.
Hasta donde yo sé, no existe una sanción directa por no llevar un documento de identidad en Francia. (Lo sé para los nacionales; creo que también es cierto para los no nacionales). Existe la obligación de que pueda demostrar su identidad a pedido (técnicamente, la solicitud debe estar justificada, pero en la práctica un oficial de policía puede siempre encuentre un pretexto). Como no nacional, también tendría que demostrar su derecho a estar allí, ya que de lo contrario podría ser detenido y expulsado. Una vez más, con una prueba de identidad, como un permiso de conducir, más una copia de su pasaporte y permiso de residencia, es muy poco probable que se meta en problemas.
Lo único que no puede hacer de manera confiable sin un pasaporte es volar. Todas las aerolíneas comerciales requieren un pasaporte (o tarjeta de identidad), incluso para vuelos internos de Schengen. A menudo no verifican, pero si lo hacen, es probable que no te permitan abordar el vuelo si no tienes documentación que sea aceptable para ellos.