Mi entendimiento es que, desde que han entrado legalmente Schengen con un visado válido, puede seguir para permanecer en Schengen; y debido a que no hay controles fronterizos dentro de Schengen, también puede continuar viajando dentro de Schengen. Sin embargo, definitivamente querrá llevar su pasaporte, visa y copias del informe policial, en caso de que la policía lo detenga, etc. Y probablemente desee verificar dos veces este consejo con, por ejemplo. la embajada del país que planea visitar, ya que me cuesta encontrar una fuente definitiva para esto.
Definitivamente podrá salir de Schengen normalmente, ya que los detalles de su visa para el pasaporte anterior estarán archivados, aunque debe permitir un tiempo adicional en el aeropuerto para verificar. Sin embargo, después de que se vaya, no podrá regresar a menos que vuelva a emitir su visa, y aparentemente se le cobrará la tarifa de visa nueva por esto. Como solo le queda un mes y aparentemente no tiene planes de viajar fuera de Schengen, lo más probable es que no valga la pena.